Gerado em: 13 de junho de 2026 às 18:02

Calculadora de Progressão Geométrica

Fórmula

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Entradas

Primeiro termo2
Razão3
Posição n10

Visualização

Termo j 0

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/math/geometric-sequence

Matemática

Calculadora de Progressão Geométrica

Calcule o termo n (aₙ), a soma parcial (Sₙ) e a soma infinita (S∞) de uma progressão geométrica a partir do primeiro termo, da razão e da posição n.

Entradas

Parâmetros da progressão

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Resultados

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A série não converge — com |r| ≥ 1 os termos não tendem a zero e a soma infinita não existe.

Resultados

\begin{aligned} a_n &= a_1 \cdot r^{n-1} \\ &= 2 \cdot 3^{10-1} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} S_n &= a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1 - 3^{10}}{1 - 3} \\ &= ? \end{aligned}

A série não converge — com |r| ≥ 1 os termos não tendem a zero e a soma infinita não existe.

Gráfico de termos

Termo j 0

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Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por um fator constante chamado razão. A forma geral é:

a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, …

onde a₁ é o primeiro termo e r é a razão. Sequências como 2, 6, 18, 54 (r = 3) e 100, 50, 25, 12,5 (r = 0,5) são exemplos típicos.

Termo de posição n

O termo na posição n é dado por:

an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

O expoente n − 1 reflete o número de multiplicações pela razão necessárias para sair do primeiro termo até a posição n.

Exemplo. Em uma PG com a₁ = 3 e r = 2, o 5º termo vale 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48.

Soma dos n primeiros termos

A soma parcial Sₙ é obtida pelo seguinte raciocínio: multiplique ambos os lados de Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ por r e subtraia o resultado de Sₙ. Todos os termos intermediários se cancelam:

Sn=a1⋅1−rn1−r(r≠1)S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \qquad (r \neq 1)

Quando r = 1 todos os termos são iguais a a₁, e a soma simplifica para Sₙ = n · a₁.

Exemplo resolvido. Com a₁ = 5 e r = 3, a soma dos 4 primeiros termos é:

S4=5⋅1−341−3=5⋅1−81−2=5⋅−80−2=200S_4 = 5 \cdot \dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \cdot \dfrac{1 - 81}{-2} = 5 \cdot \dfrac{-80}{-2} = 200

Verificação direta: 5 + 15 + 45 + 135 = 200. ✓

Soma infinita

Quando |r| < 1, os termos decrescem em módulo e tendem a zero. As somas parciais convergem para um limite finito à medida que n cresce:

S∞=a11−rS_{\infty} = \dfrac{a_1}{1 - r}

Essa expressão é obtida fazendo n → ∞ na fórmula de Sₙ: o termo rⁿ tende a zero e desaparece, deixando a₁ / (1 − r).

Quando |r| ≥ 1 os termos não se aproximam de zero, portanto a série diverge — não existe soma infinita finita.

Exemplo. Uma bola cai de 10 m de altura e cada quique atinge 60% da altura anterior (r = 0,6). A série ascendente dos quiques é 6 + 3,6 + 2,16 + … A soma infinita dessa série vale:

S∞=61−0,6=60,4=15 mS_{\infty} = \dfrac{6}{1 - 0{,}6} = \dfrac{6}{0{,}4} = 15 \text{ m}

Condição de convergência

O comportamento da série segundo o valor de r:

CondiçãoComportamento
|r| < 1Converge para a₁ / (1 − r)
r = 1Termos constantes; soma cresce sem limite
r = −1Termos alternam entre a₁ e −a₁; série oscila e diverge
|r| > 1Termos crescem em módulo; série diverge

Relação com juros compostos

O crescimento por juros compostos segue exatamente a estrutura de uma PG. O saldo após n períodos é:

An=P⋅(1+i)nA_n = P \cdot (1 + i)^n

onde P é o capital inicial e i a taxa por período. Isso equivale a uma PG com primeiro termo a₁ = P e razão r = (1 + i): o saldo no início do n-ésimo período é aₙ = P · (1 + i)ⁿ⁻¹. A soma dos aportes regulares ao longo do tempo — um fluxo de pagamentos periódicos — é calculada pela fórmula da soma parcial e corresponde ao valor futuro de uma série de depósitos.

Paradoxo de Zenão

O paradoxo da dicotomia de Zenão propõe atravessar uma sala percorrendo primeiro metade da distância, depois metade do restante, e assim por diante. A distância total percorrida é a série geométrica:

12+14+18+⋯=1/21−1/2=1\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1

O que parece uma contradição — infinitos passos somando uma distância finita — é exatamente o que a convergência de uma PG com |r| < 1 descreve.

Perguntas frequentes (FAQ)

Quando a soma infinita de uma progressão geométrica converge?

A soma infinita S∞ = a₁ / (1 − r) existe somente quando o valor absoluto da razão é estritamente menor que 1 (|r| < 1). Nessa condição os termos se aproximam de zero e as somas parciais convergem para um limite finito. Quando |r| ≥ 1 os termos não decrescem até zero, logo as somas parciais crescem sem limite ou oscilam indefinidamente (caso r = −1).

O que ocorre quando a razão é negativa?

Uma razão negativa faz os termos alternarem de sinal: positivo, negativo, positivo, … Por exemplo, com a₁ = 4 e r = −0,5 a progressão é 4; −2; 1; −0,5; 0,25; … Como |r| = 0,5 < 1, a soma infinita ainda converge: S∞ = 4 / (1 − (−0,5)) = 4 / 1,5 ≈ 2,667.

Qual é a relação entre progressão geométrica e crescimento exponencial?

Toda progressão geométrica é uma função exponencial amostrada em posições inteiras: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹. Para r > 1 o modelo descreve crescimento exponencial (juros compostos, crescimento populacional); para 0 < r < 1, decaimento exponencial (desintegração radioativa, eliminação de fármacos). O análogo contínuo é a função f(t) = a · eᵏᵗ.

A razão pode ser um número fracionário ou decimal?

Sim — r pode ser qualquer número real não nulo, incluindo frações e decimais. Uma razão de 1/2 reduz cada termo à metade (1; 0,5; 0,25; …), enquanto uma razão de 3/2 aumenta cada termo em 50% (1; 1,5; 2,25; 3,375; …). Os únicos valores excluídos são r = 0 (a sequência degenera: todos os termos a partir do segundo se tornam zero, e a série geométrica infinita diverge) e r = 1 (todos os termos iguais a a₁; a soma infinita diverge).

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