Gerado em: 13 de junho de 2026 às 18:02

Calculadora de Multiplicação de Matrizes (2×2 e 3×3)

Fórmula

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} \\ {{a21}} & {{a22}} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} {{b11}} & {{b12}} \\ {{b21}} & {{b22}} \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} & {{a13}} \\ {{a21}} & {{a22}} & {{a23}} \\ {{a31}} & {{a32}} & {{a33}} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} {{b11}} & {{b12}} & {{b13}} \\ {{b21}} & {{b22}} & {{b23}} \\ {{b31}} & {{b32}} & {{b33}} \end{pmatrix}

A \cdot B = \begin{pmatrix} {{c11}} & {{c12}} \\ {{c21}} & {{c22}} \end{pmatrix}

A \cdot B = \begin{pmatrix} {{c11}} & {{c12}} & {{c13}} \\ {{c21}} & {{c22}} & {{c23}} \\ {{c31}} & {{c32}} & {{c33}} \end{pmatrix}

Entradas

Dimensão da matriz	2×2
A linha 1, col 1	1
A linha 1, col 2	2
A linha 1, col 3	0
A linha 2, col 1	3
A linha 2, col 2	4
A linha 2, col 3	0
A linha 3, col 1	0
A linha 3, col 2	0
A linha 3, col 3	1
B linha 1, col 1	5
B linha 1, col 2	6
B linha 1, col 3	0
B linha 2, col 1	7
B linha 2, col 2	8
B linha 2, col 3	0
B linha 3, col 1	0
B linha 3, col 2	0
B linha 3, col 3	1

Calculadora de Multiplicação de Matrizes (2×2 e 3×3)

Multiplique duas matrizes quadradas 2×2 ou 3×3. Informe os elementos das matrizes A e B para calcular o produto A·B com visualização matricial.

Dimensão da matriz

2×2 3×3

A = \begin{pmatrix} {{a11}} & {{a12}} \\ {{a21}} & {{a22}} \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} {{b11}} & {{b12}} \\ {{b21}} & {{b22}} \end{pmatrix}

Insira um valor para ver os resultados.

Produto A·B

A \cdot B = \begin{pmatrix} {{c11}} & {{c12}} \\ {{c21}} & {{c22}} \end{pmatrix}

Última atualização: 2026-06-05

O que é multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes é uma operação que combina duas matrizes A e B para produzir uma terceira matriz C = A·B. O elemento na linha i e coluna j do resultado é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B:

c_{ij} = \sum_{k} a_{ik} \, b_{kj}

A calculadora aceita matrizes quadradas de dimensão 2×2 ou 3×3. Informe os elementos de A e B; o produto A·B é atualizado a cada alteração.

Como funciona o cálculo

Para cada elemento do produto, percorre-se uma linha inteira de A e uma coluna inteira de B, multiplicando os pares correspondentes e somando os resultados. Para matrizes 2×2:

C = A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}

Para matrizes n×n, cada elemento exige n multiplicações e n−1 adições, totalizando uma operação de ordem O(n³).

Exemplo numérico (2×2)

Sejam A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[5, 6], [7, 8]]:

Elemento (1,1): linha 1 de A · coluna 1 de B:

$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 5 + 14 = 19$

Elemento (1,2): linha 1 de A · coluna 2 de B:

$c_{12} = (1)(6) + (2)(8) = 6 + 16 = 22$

Elemento (2,1): linha 2 de A · coluna 1 de B:

$c_{21} = (3)(5) + (4)(7) = 15 + 28 = 43$

Elemento (2,2): linha 2 de A · coluna 2 de B:

$c_{22} = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$

Portanto, A·B = [[19, 22], [43, 50]].

Não comutatividade

A multiplicação de matrizes não é comutativa. Invertendo a ordem das mesmas matrizes:

B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}

A·B = [[19, 22], [43, 50]], enquanto B·A = [[23, 34], [31, 46]] — matrizes distintas. Isso difere fundamentalmente da multiplicação escalar, em que 3 × 5 = 5 × 3 sempre. A razão é geométrica: A·B significa "aplique B primeiro, depois A", ao passo que B·A inverte essa sequência. Sequências diferentes de transformações produzem, em geral, resultados diferentes.

Interpretação geométrica

Uma matriz quadrada codifica uma transformação linear do espaço vetorial: pode rotacionar, escalonar, refletir ou cisalhar um conjunto de vetores. Ao calcular A·B, compõe-se duas transformações em uma só — aplica-se B e em seguida A. O resultado é uma única matriz que realiza as duas etapas de uma vez.

Essa regra de composição explica por que a multiplicação de matrizes é associativa — A·(B·C) = (A·B)·C — mas não comutativa.

A matriz identidade

A matriz identidade I de ordem n possui 1 na diagonal principal e 0 nos demais elementos. Ela desempenha o papel do "multiplicar por 1" na aritmética matricial:

$A \cdot I = I \cdot A = A$

Multiplicar qualquer matriz pela identidade deixa-a inalterada. Em termos geométricos, I representa a transformação que não faz nada — nenhuma rotação, nenhum escalonamento.

Aplicações

A multiplicação de matrizes aparece sempre que múltiplas transformações lineares são encadeadas:

Gráficos 3D: rotação, escalonamento e translação de objetos são representados como matrizes 4×4 em coordenadas homogêneas. Compor essas matrizes por multiplicação permite que a GPU aplique todas as transformações em um único produto matriz–vetor por vértice.
Sistemas de equações lineares: um sistema Ax = b pode ser resolvido calculando-se A⁻¹b, onde A⁻¹ é obtida pela inversão da matriz de coeficientes.
Cadeias de Markov: multiplicar uma matriz de transição por si mesma k vezes fornece a distribuição de probabilidade após k etapas.
Redes neurais: cada camada de uma rede totalmente conectada aplica uma transformação afim — uma multiplicação de matrizes seguida de uma adição de viés (bias).

Perguntas frequentes (FAQ)

A multiplicação de matrizes é comutativa?

Não. Em geral, A·B ≠ B·A. Tomando A = [[1,2],[3,4]] e B = [[5,6],[7,8]], obtém-se A·B = [[19,22],[43,50]], mas B·A = [[23,34],[31,46]]. Casos especiais, como a matriz identidade e matrizes diagonais, podem comutar, mas isso é exceção, não regra.

O que significa a multiplicação de matrizes geometricamente?

Cada matriz representa uma transformação linear do espaço — rotação, reflexão, escalonamento ou cisalhamento. Ao calcular A·B, compõe-se essas transformações: aplica-se primeiro B e depois A. A ordem importa porque rotacionar e depois cisalhar produz um resultado diferente do que cisalhar e depois rotacionar.

É possível multiplicar matrizes não quadradas?

Sim, desde que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Uma matriz m×n multiplicada por uma matriz n×p produz um resultado m×p. Esta calculadora concentra-se nas matrizes quadradas 2×2 e 3×3, que são os casos mais comuns em cursos de álgebra linear e em aplicações de gráficos 2D/3D.

Como a multiplicação de matrizes é usada em gráficos 3D?

Em gráficos 3D, cada rotação, escalonamento e translação de um objeto é representada como uma matriz 4×4 (em coordenadas homogêneas). Para aplicar uma sequência de transformações a um objeto — rotacionar, depois escalonar, depois transladar — multiplica-se essas três matrizes uma única vez, obtendo uma matriz combinada. Essa matriz é então aplicada a cada vértice do modelo. Por esse motivo, as unidades de processamento gráfico (GPUs) são otimizadas para multiplicação de matrizes.

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