Última atualização: 2026-06-06

Avaliação de polinômios em um ponto

Um polinômio P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ associa a cada número real x um único valor numérico. Calculá-lo diretamente — elevando x a cada potência, multiplicando pelo coeficiente correspondente e somando os resultados — exige O(n²) multiplicações para um polinômio de grau n. O método de Horner reduz essa conta para exatamente n multiplicações e n adições, reescrevendo o polinômio como um produto encadeado:

$P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0$

Esse algoritmo é utilizado internamente por sistemas de álgebra computacional e bibliotecas numéricas modernas.

Esta calculadora recebe os coeficientes do polinômio do maior para o menor grau (por exemplo, 1, -3, 2, 5 para x³ − 3x² + 2x + 5) e um valor de x, e retorna o grau, o polinômio formatado e P(x), com o gráfico da curva centralizado no ponto de avaliação.

O método de Horner passo a passo

O algoritmo mantém um acumulador r, inicializado com o coeficiente líder aₙ. Para cada coeficiente seguinte, realiza uma operação de multiplicação e adição:

$r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad \text{para } k = 1, 2, \ldots, n$

Após n passos, o acumulador contém P(x). Esse resultado é ótimo: nenhum algoritmo de avaliação de polinômios pode realizar menos de n multiplicações.

Exemplo: P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 em x = 2 (coeficientes: 1, -3, 2, 5)

Portanto, P(2) = 5 — o que se confirma pela avaliação direta: 8 − 12 + 4 + 5 = 5.

Comparação de desempenho

Na avaliação direta, cada potência de x é calculada do zero: x² = x·x, x³ = x²·x, e assim por diante. Para um polinômio de grau n, isso exige até n(n+1)/2 multiplicações antes da soma final. O esquema de Horner reaproveita cada produto intermediário, reduzindo o total para exatamente n multiplicações e n adições.

O método de Horner também apresenta maior estabilidade numérica que a abordagem direta: menos produtos intermediários de grande magnitude significam menos cancelamento catastrófico quando os coeficientes têm ordens de grandeza distintas.

Informando os coeficientes

Liste os coeficientes do termo de maior grau até o termo constante, separados por vírgula. Inclua 0 para cada potência ausente — a omissão desloca todos os coeficientes restantes para o grau errado.

O grau do polinômio é sempre o número de valores informados menos um. Um único coeficiente corresponde a um polinômio de grau zero (constante).

Aplicações práticas

A avaliação de polinômios aparece em diversas áreas da computação e da engenharia:

• Computação gráfica. Curvas de Bézier e splines são polinômios paramétricos; a renderização de um único pixel sobre uma curva de Bézier cúbica exige a avaliação de um polinômio de grau 3 centenas de vezes por quadro.
• Processamento de sinais. Filtros FIR são convoluções avaliadas amostra a amostra como multiplicações de polinômios no domínio Z.
• Localização de raízes. O método de Newton para P(x) = 0 avalia P(x₀) e P′(x₀) a cada iteração — ambos obtidos em uma única passagem pelo algoritmo de Horner.
• Funções de hash e verificação de integridade. Verificações de redundância cíclica (CRC) avaliam um polinômio binário módulo um gerador, o que corresponde a um laço de Horner sobre GF(2).
• Sistemas de controle. Funções de transferência são polinômios racionais em s (transformada de Laplace) ou z (transformada Z); a análise de estabilidade exige a avaliação do polinômio característico sobre o eixo imaginário.

Relação com a divisão sintética

O método de Horner é algebricamente idêntico à divisão sintética — o algoritmo abreviado de divisão de P(x) por um fator linear (x − c). O resto dessa divisão é igual a P(c), e o quociente Q(x) satisfaz a identidade P(x) = (x − c)Q(x) + P(c). Uma única passagem pelo algoritmo de Horner, portanto, produz simultaneamente P(c) (o resto) e os coeficientes de Q(x). Avaliando Q(c), obtém-se P′(c), base do método iterativo de Newton para localização de raízes.

Para aprofundar

Para calcular P′(x) junto com P(x), use a Calculadora de Derivada de Polinômio. Para integrar o polinômio, use a Integral Definida de Polinômio. Para resolver P(x) = 0, use a calculadora de Resolução de equação do segundo grau (grau 2) ou a calculadora de Equação Cúbica — Calculadora de Raízes (grau 3).