Ultimo aggiornamento: 2026-06-04

Definizione

Una potenza $b^n$ indica che la base $b$ viene moltiplicata per se stessa $n$ volte:

Il numero $b$ è la base, $n$ è l'esponente (detto anche indice o grado). Ad esempio, $2^{10} = 1024$ perché 2 viene moltiplicato per se stesso 10 volte.

Proprietà fondamentali

Le sei proprietà seguenti governano il comportamento delle potenze nelle operazioni aritmetiche. Ciascuna discende direttamente dalla definizione di moltiplicazione ripetuta.

Prodotto di potenze con la stessa base — si sommano gli esponenti: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

Quoziente di potenze con la stessa base — si sottraggono gli esponenti: $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \quad (b \neq 0)$

Potenza di una potenza — si moltiplicano gli esponenti: $(b^m)^n = b^{mn}$

Potenza di un prodotto — l'esponente si distribuisce sui fattori: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Esponente zero — qualsiasi base non nulla elevata a 0 vale 1: $b^0 = 1 \quad (b \neq 0)$

Esponente negativo — indica il reciproco della potenza con esponente positivo: $b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (b \neq 0)$

Esponenti negativi

Un esponente negativo equivale a prendere il reciproco. Ad esempio:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$

Questo segue dalla regola del quoziente: $b^0 / b^n = 1 / b^n = b^{-n}$. Gli esponenti negativi compaiono nella notazione scientifica per numeri molto piccoli ($10^{-9}$ corrisponde a 1 nanometro) e nell'analisi dimensionale ($\text{m s}^{-1}$ per la velocità).

Esponenti frazionari e radici

Un esponente frazionario rappresenta una radice. La regola generale è:

$b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

Casi più comuni:

Affinché il risultato sia un numero reale, la base deve essere non negativa (o l'esponente deve ridursi a una frazione con denominatore dispari per basi negative). I risultati complessi esulano dall'aritmetica standard.

Il reciproco

Il reciproco di $b^n$ è $b^{-n} = 1/b^n$. Vale la relazione $b^n \cdot b^{-n} = b^0 = 1$. Il reciproco non è definito quando $b^n = 0$, cioè quando $b = 0$ e $n > 0$.

La convenzione per 0⁰

Quando $b = 0$ e $n = 0$, l'espressione $0^0$ è una forma indeterminata nell'analisi matematica (poiché $0^x \to 0$ e $x^0 \to 1$ per percorsi distinti). Nella matematica discreta, nella combinatoria e nell'informatica, $0^0$ è universalmente definito come 1. Questa scelta mantiene la coerenza di identità combinatorie come il teorema binomiale e le serie di potenze nei casi limite. Questo calcolatore adotta la convenzione $0^0 = 1$.

Esempio numerico

Dati: base $b = 3$, esponente $n = 4$

$b^n = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Reciproco:

$b^{-n} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0{,}012346$

Verifica con la regola del prodotto:

$3^4 \cdot 3^{-4} = 3^{4 + (-4)} = 3^0 = 1 \checkmark$

Applicazioni