Ultimo aggiornamento: 2026-06-04

Una progressione geometrica è una successione di numeri in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una costante fissa, detta ragione. La forma generale è:

$a_1,\; a_1 r,\; a_1 r^2,\; a_1 r^3,\; \ldots$

dove $a_1$ è il primo termine e $r$ è la ragione.

Formula dell'n-esimo termine

Il termine in posizione $n$ si calcola con:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

Ogni termine è ottenuto moltiplicando $a_1$ per la ragione $r$ esattamente $n - 1$ volte.

Esempio. Con $a_1 = 3$ e $r = 2$, il 5° termine è $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.

Somma dei primi n termini

La somma parziale $S_n$ si ricava sottraendo $r \cdot S_n$ da $S_n$: tutti i termini interni si cancellano e rimane:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \qquad (r \neq 1)$

Quando $r = 1$ tutti i termini sono uguali ad $a_1$, quindi $S_n = n \cdot a_1$.

Esempio. Siano $a_1 = 5$ e $r = 3$; si cerca la somma dei primi 4 termini. I termini sono 5, 15, 45, 135. Applicando la formula:

$S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \cdot \frac{-80}{-2} = 200$

Verifica diretta: $5 + 15 + 45 + 135 = 200$.

Somma infinita e condizione di convergenza

Quando $|r| < 1$, i termini tendono a zero e le somme parziali convergono a un limite finito:

$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$

Questa formula si ottiene lasciando $n \to \infty$ nell'espressione di $S_n$: il termine $r^n$ svanisce e resta $a_1 / (1 - r)$.

Quando invece $|r| \geq 1$, i termini non tendono a zero e la serie diverge: non esiste una somma infinita finita.

Il quadro completo dei casi è il seguente:

Esempio. Una pallina è lasciata cadere da un'altezza di 10 m; a ogni rimbalzo raggiunge il 60% dell'altezza precedente ($r = 0{,}6$). La serie delle altezze dei rimbalzi verso l'alto è:

$6 + 3{,}6 + 2{,}16 + \cdots = \frac{6}{1 - 0{,}6} = 15 \text{ m}$

Legame con la crescita esponenziale

Una progressione geometrica è una funzione esponenziale campionata in posizioni intere: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. Con $r > 1$ il modello descrive la crescita esponenziale (capitalizzazione composta, crescita demografica); con $0 < r < 1$ descrive il decadimento esponenziale (disintegrazione radioattiva, smaltimento di un farmaco nell'organismo).

L'analogo continuo è la funzione $f(t) = a \cdot e^{kt}$, in cui $k = \ln r$.

Capitalizzazione composta

Un capitale $P$ investito a un tasso annuo $i$ con capitalizzazione annua dà luogo alla successione:

$A_n = P \cdot (1 + i)^n$

Si tratta di una progressione geometrica con $a_1 = P(1 + i)$ e ragione $r = (1 + i)$. La somma parziale corrisponde al valore futuro di una serie di versamenti periodici (rendita).

Il paradosso di Zenone

Il paradosso della dicotomia di Zenone immagina di attraversare una stanza percorrendo prima metà della distanza, poi metà di quanto rimane, e così via. La distanza totale è la serie geometrica:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$

Il paradosso — infiniti passi, eppure una distanza totale finita — trova soluzione nella convergenza delle serie geometriche con $|r| < 1$.