Ultimo aggiornamento: 2026-06-05

Definizione di semisfera

Una semisfera è la metà di una sfera ottenuta sezionandola con un piano passante per il centro. È delimitata da una base circolare piana e da una superficie curva esterna a forma di calotta. Il raggio della base coincide con il raggio della sfera di partenza. Esempi concreti includono ciotole, cupole architettoniche e igloo.

Formule

Per una semisfera di raggio r:

Grandezza	Formula	Note
Volume	$V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$	Metà del volume della sfera
Area laterale	$A_c = 2\pi r^2$	Solo la calotta, senza la base
Area della base	$A_b = \pi r^2$	Disco circolare piano
Area totale	$A = 3\pi r^2$	Calotta + base

Dimostrazione

Volume

Il volume di una sfera di raggio $r$ è $\dfrac{4}{3}\pi r^3$. La semisfera ne è esattamente la metà:

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

Lo stesso risultato si ottiene integrando sezioni circolari di raggio $\sqrt{r^2 - h^2}$ da $h = 0$ a $h = r$:

$V = \int_0^r \pi(r^2 - h^2)\,dh = \pi\!\left[r^2 h - \frac{h^3}{3}\right]_0^r = \frac{2}{3}\pi r^3$

Area laterale

La superficie totale della sfera è $4\pi r^2$. La calotta ne occupa la metà:

$A_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

Area della base e area totale

La base è un cerchio di raggio $r$:

$A_b = \pi r^2$

L'area totale somma calotta e base:

$A = A_c + A_b = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

Semisfera e sfera: confronto

Grandezza	Semisfera	Sfera	Rapporto
Volume	$\dfrac{2}{3}\pi r^3$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$	1/2
Area laterale	$2\pi r^2$	$4\pi r^2$	1/2
Area totale	$3\pi r^2$	$4\pi r^2$	3/4

Volume e area laterale sono ciascuno la metà dei corrispondenti valori sferici. L'area totale è invece tre quarti della superficie della sfera, non la metà, perché la base piana aggiunge $\pi r^2$. Questo è l'errore più frequente quando si dimezza un calcolo sferico.

Esempio numerico

Una ciotola emisferica di raggio 10 cm (0,10 m):

Volume: $V = \frac{2}{3}\pi (0{,}10)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0{,}001 \approx 0{,}002094 \text{ m}^3 = 2{.}094 \text{ cm}^3$

Area laterale: $A_c = 2\pi (0{,}10)^2 = 2\pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0628 \text{ m}^2 = 628{,}3 \text{ cm}^2$

Area della base: $A_b = \pi (0{,}10)^2 = \pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0314 \text{ m}^2 = 314{,}2 \text{ cm}^2$

Area totale: $A = 3\pi (0{,}10)^2 = 3\pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0942 \text{ m}^2 = 942{,}5 \text{ cm}^2$

Effetto della scala sul raggio

Il volume varia con $r^3$ e l'area con $r^2$:

Fattore del raggio	Fattore del volume	Fattore dell'area
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Questa proprietà è determinante nel dimensionamento di serbatoi e cupole: raddoppiare il raggio moltiplica il volume per otto, ma l'area solo per quattro.

Vedere anche: volume della sfera (Calcolatore di volume e superficie della sfera) e volume del cono (Calcolatore di volume e superficie del cono).

Domande frequenti (FAQ)

Qual è la formula del volume di una semisfera?

Il volume di una semisfera è V = (2/3)πr³, esattamente la metà del volume di una sfera intera (4/3)πr³. Per r = 5 cm: r³ = (0,05 m)³ = 0,000125 m³, quindi V = (2/3) × π × 0,000125 ≈ 0,000262 m³ ≈ 261,8 cm³.

L'area totale di una semisfera include la base piana?

Sì. Area totale = area laterale (2πr²) + area della base (πr²) = 3πr². Per la sola calotta si usa 2πr². Per r = 5 cm: laterale ≈ 157,1 cm², base ≈ 78,5 cm², totale ≈ 235,6 cm².

Quali sono le differenze tra una semisfera e una sfera intera?

Una semisfera ha la metà del volume di una sfera dello stesso raggio (V = (2/3)πr³ contro (4/3)πr³). La sua area laterale (2πr²) è anch'essa la metà della superficie sferica (4πr²). L'area totale (3πr²) equivale però a tre quarti della superficie della sfera (4πr²), perché la base piana aggiunge πr².

Come si calcola solo la superficie curva di una semisfera?

L'area laterale (calotta) è A_c = 2πr², senza la base. Per r = 5 cm: A_c = 2 × π × 25 ≈ 157,1 cm². Aggiungendo la base (πr² ≈ 78,5 cm²), l'area totale risulta 3πr² ≈ 235,6 cm².