Calcolo della radice n-esima
Dati di input
| Radicando | 27 |
|---|---|
| Indice della radice | 3 |
Calcolo della radice n-esima
Calcola la radice n-esima principale di qualsiasi numero reale. Per indici pari con radicando positivo mostra anche la radice reale negativa.
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La radice n-esima di un numero x, indicata con ⁿ√x, è il numero r che soddisfa l'equazione rⁿ = x. Per n = 2 si tratta della radice quadrata; per n = 3 della radice cubica. Il calcolatore determina la radice n-esima principale e, quando n è pari e il radicando è positivo, anche la seconda radice reale negativa.
Definizione e convenzione della radice principale
Per un radicando x positivo e un intero n ≥ 2, l'equazione rⁿ = x ammette due soluzioni reali quando n è pari (una positiva e una negativa) e un'unica soluzione reale quando n è dispari. La radice n-esima principale è definita come:
- ⁿ√x ≥ 0 quando x ≥ 0 (risultato positivo o nullo)
- ⁿ√x < 0 quando x < 0 e n è dispari (la definizione si estende naturalmente ai radicandi negativi)
Questa convenzione fa di ⁿ√x una funzione in senso matematico: a ogni valore di x corrisponde uno e un solo risultato, anziché un insieme di valori. Il simbolo radicale ⁿ√ denota sempre la radice principale.
Formula
La radice n-esima principale si calcola come:
nx=sign(x)⋅∣x∣1/ndove sign(x) vale +1 per x > 0, 0 per x = 0 e −1 per x < 0. Per x positivo la formula si riduce a x^(1/n). Per x negativo con n dispari la formula restituisce correttamente un risultato negativo: ad esempio, ∛(−8) = −2.
Radice n-esima ed esponente frazionario
La radice n-esima e l'esponente 1/n corrispondono alla medesima operazione:
nx=x1/nQuesta equivalenza discende dalla regola degli esponenti: elevare x^(1/n) alla potenza n dà x, perché (x^(1/n))^n = x^(n/n) = x. La relazione si generalizza: x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ), che esprime con un unico esponente frazionario sia un'elevazione a potenza sia un'estrazione di radice.
Radici con indice pari di numeri negativi
Quando n è pari, rⁿ è sempre non negativo per qualsiasi r reale, perché la potenza di esponente pari di un numero negativo è positiva. L'equazione rⁿ = x non ha pertanto soluzione reale quando x < 0. Il risultato appartiene ai numeri complessi — è un multiplo dell'unità immaginaria i — e si colloca al di fuori della retta reale.
Ad esempio, √(−9) = 3i, non −3. Il valore −3 soddisfa (−3)² = 9, non −9, e quindi non è una radice quadrata di −9.
Esempio di calcolo
Problema: trovare la radice quarta principale di 81 e identificare entrambe le radici reali quarte.
- Applicare la formula: ⁴√81 = 81^(1/4).
- Verificare: 3⁴ = 81, quindi 81^(1/4) = 3.
- La radice quarta principale è 3.
- Poiché n = 4 è pari e x = 81 > 0, esiste una seconda radice reale: −3.
- Controllo: (−3)⁴ = 81. ✓
Entrambi i valori 3 e −3 sono radici quarte reali di 81; la radice principale è 3.
Numero di radici reali
Il numero di radici n-esime reali di un numero dipende dalla parità di n:
| n | Radici reali per x > 0 | Radici reali per x < 0 |
|---|---|---|
| dispari | 1 (positiva) | 1 (negativa) |
| pari | 2 (positiva e negativa) | nessuna (solo complesse) |
Nell'insieme dei numeri complessi, ogni numero non nullo ha esattamente n radici n-esime distinte, distribuite uniformemente su una circonferenza nel piano di Argand. La radice principale è quella con argomento (angolo) minimo non negativo.
Relazione con logaritmi ed esponenziali
Per x > 0 la radice n-esima si può esprimere tramite la funzione esponenziale e il logaritmo naturale:
nx=e(lnx)/n(x>0)Questa forma viene impiegata in alcuni algoritmi numerici quando il calcolo diretto della potenza frazionaria non è disponibile. Per x < 0 con n dispari, si calcola −(ⁿ√|x|).
Applicazioni
- Scala geometrica: se un cubo ha volume V, la lunghezza del suo spigolo è ∛V, cioè la radice cubica del volume.
- Crescita composta: se un investimento si moltiplica per un fattore F in n periodi, il fattore di crescita per periodo è ⁿ√F.
- Statistica: la media geometrica di n numeri è uguale alla radice n-esima del loro prodotto.
- Teoria dei segnali: il valore efficace (RMS) utilizza la radice quadrata; norme di ordine superiore ricorrono a radici di grado maggiore.
Domande frequenti (FAQ)
È possibile calcolare la radice con indice pari di un numero negativo?
Nell'insieme dei numeri reali, no. Quando n è pari, qualsiasi numero reale elevato alla n-esima potenza produce un valore non negativo: sia 3² = 9 sia (−3)² = 9 sono positivi. Di conseguenza √(−9) non ha soluzione reale. Il risultato appartiene ai numeri complessi, coinvolge l'unità immaginaria i, e non è calcolato da questo strumento.
Qual è la differenza tra il simbolo √x e la radice n-esima principale?
Il simbolo √ denota la radice quadrata principale, cioè il caso particolare della radice n-esima con n = 2. La radice n-esima principale è definita come la radice reale avente lo stesso segno di x: è positiva per x > 0 e negativa per x < 0 con n dispari. Questa convenzione rende ⁿ√x una funzione in senso matematico rigoroso, che associa a ogni input un unico valore ben definito. Il radicale ⁿ√ denota sempre la radice principale.
Qual è il legame tra la radice n-esima e un esponente frazionario?
La radice n-esima e l'esponente 1/n corrispondono alla stessa operazione: ⁿ√x = x^(1/n). Questa equivalenza segue dalla regola degli esponenti: (x^(1/n))^n = x^(n/n) = x^1 = x, confermando che elevare alla potenza 1/n è l'operazione inversa dell'elevamento alla potenza n. In generale vale x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ), che combina in un unico esponente frazionario sia una potenza sia una radice. Le calcolatrici scientifiche utilizzano il tasto yˣ oppure x^(1/n) per calcolare qualsiasi radice.
Perché un numero può avere più radici n-esime?
L'equazione tⁿ = x può ammettere più soluzioni a seconda della parità di n. Per n pari e x > 0, sia t = ⁿ√x sia t = −ⁿ√x soddisfano tⁿ = x, quindi esistono due radici reali. Per n dispari esiste un'unica radice reale, con lo stesso segno di x. Nell'insieme dei numeri complessi, ogni numero non nullo ha esattamente n radici n-esime distinte, distribuite uniformemente su una circonferenza nel piano di Argand. La radice principale è quella con argomento (angolo) reale più piccolo non negativo.
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