Zuletzt aktualisiert: 2026-06-05

Die n-te Wurzel einer Zahl x, geschrieben ⁿ√x, ist diejenige Zahl r, für die rⁿ = x gilt. Für n = 2 ergibt sich die bekannte Quadratwurzel, für n = 3 die Kubikwurzel. Der Rechner bestimmt den Hauptwert der reellen n-ten Wurzel sowie — bei geradem n mit positivem x — die negative reelle Wurzel.

Definition

Für einen positiven Radikanden x und einen ganzzahligen Exponenten n ≥ 2 hat die Gleichung rⁿ = x bei geradem n genau zwei reelle Lösungen (eine positive und eine negative), bei ungeradem n genau eine. Als Hauptwert wird diejenige reelle n-te Wurzel festgelegt, die folgende Bedingung erfüllt:

• ⁿ√x ≥ 0, wenn x ≥ 0 (nicht-negatives Ergebnis)
• ⁿ√x < 0, wenn x < 0 und n ungerade (Ergebnis mit Vorzeichen von x)

Diese Festlegung macht ⁿ√x zu einer eindeutigen Funktion — jedem Eingabewert ist genau ein Ausgabewert zugeordnet. Das Wurzelzeichen ⁿ√ bezeichnet stets den Hauptwert.

Formel

Der Hauptwert der n-ten Wurzel wird berechnet als:

Dabei ist sign(x) gleich +1 für positives x, 0 für x = 0 und −1 für negatives x. Für positives x vereinfacht sich die Formel zu x^(1/n). Für negatives x mit ungeradem n liefert sie korrekt ein negatives Ergebnis — beispielsweise ∛(−8) = −2.

n-te Wurzel als gebrochener Exponent

n-te Wurzel und Exponent 1/n beschreiben dieselbe Rechenoperation:

Der Zusammenhang folgt aus der Potenzregel: Wird x^(1/n) zur n-ten Potenz erhoben, ergibt sich (x^(1/n))^n = x^(n/n) = x. Allgemeiner gilt x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) — Potenz m und Wurzelexponent n werden in einem einzigen gebrochenen Exponenten zusammengefasst. Wissenschaftliche Taschenrechner nutzen in der Regel die Taste y^x oder x^(1/n) für diese Berechnung.

Wurzeln gerader Ordnung aus negativen Zahlen

Bei geradem n ist rⁿ für jedes reelle r stets nicht-negativ, weil eine gerade Potenz einer negativen Zahl positiv wird. Die Gleichung rⁿ = x hat daher keine reelle Lösung, wenn x < 0. Das Ergebnis ist eine komplexe Zahl — ein Vielfaches der imaginären Einheit i — und liegt außerhalb der reellen Zahlengeraden.

Zur Veranschaulichung: √(−9) = 3i, nicht −3. Der Wert −3 erfüllt (−3)² = 9, nicht −9, und ist damit keine Quadratwurzel von −9.

Rechenbeispiel

Aufgabe: Bestimmen Sie den Hauptwert der 4. Wurzel aus 81 und geben Sie beide reellen 4. Wurzeln an.

1. Formel anwenden: ⁴√81 = 81^(1/4).
2. Berechnung: 3⁴ = 81, also ist 81^(1/4) = 3.
3. Der Hauptwert der 4. Wurzel ist 3.
4. Da n = 4 gerade und x = 81 > 0, existiert eine zweite reelle Wurzel: −3.
5. Probe: (−3)⁴ = 81. ✓

Beide Werte, 3 und −3, sind reelle 4. Wurzeln von 81; der Hauptwert ist 3.

Anzahl der reellen n-ten Wurzeln

Die Anzahl der reellen n-ten Wurzeln einer Zahl x hängt von n und dem Vorzeichen von x ab:

Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt jede von null verschiedene Zahl genau n verschiedene n-te Wurzeln, die gleichmäßig auf einem Kreis in der Gaußschen Zahlenebene verteilt sind. Der Hauptwert ist die Wurzel mit dem kleinsten nicht-negativen Argument (Winkel).

Zusammenhang mit Logarithmus und Exponentialfunktion

Die n-te Wurzel lässt sich auch über den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

Diese Darstellung wird in numerischen Algorithmen verwendet, wenn eine direkte Potenzberechnung nicht verfügbar ist. Für negatives x mit ungeradem n berechnet man −(ⁿ√|x|).

Anwendungen

• Geometrische Skalierung: Hat ein Würfel das Volumen V, beträgt seine Kantenlänge ∛V — die Kubikwurzel des Volumens.
• Durchschnittliches Wachstum: Wächst ein Betrag um den Faktor F über n Perioden, so beträgt der Wachstumsfaktor pro Periode ⁿ√F. Dies entspricht der in der Finanzmathematik gebräuchlichen geometrischen Wachstumsrate.
• Statistik: Das geometrische Mittel von n Zahlen ist gleich der n-ten Wurzel aus ihrem Produkt.
• Signalverarbeitung: Der quadratische Mittelwert (Effektivwert) enthält eine Quadratwurzel; verallgemeinerte Normen höherer Ordnung verwenden entsprechend höhere Wurzeln.