Zuletzt aktualisiert: 2026-06-05

Ein Perzentil gibt an, welcher Anteil der Datenwerte unterhalb eines bestimmten Wertes liegt. Das 75. Perzentil ist der Wert, unterhalb dessen 75 % der sortierten Daten fallen. Quartile sind die drei Perzentile — Q1 (25.), Q2 (50.) und Q3 (75.) — die einen Datensatz in vier gleich große Abschnitte teilen. Der Rechner ermittelt aus einer kommagetrennten Liste von Zahlen ein beliebiges Perzentil, alle drei Quartile sowie den Interquartilsabstand (IQR).

Berechnungsmethode: lineare Interpolation

Für die Berechnung von Perzentilen existieren verschiedene Konventionen. Dieser Rechner verwendet die inklusive lineare Interpolation (Methode 7 in R), die mit der Excel-Funktion PERCENTILE.INC und dem Standardverhalten von numpy.percentile in Python übereinstimmt.

Der Algorithmus umfasst drei Schritte:

1. Die n Werte werden aufsteigend sortiert.
2. Der Bruchrang wird berechnet: Position = (n − 1) × p / 100.
3. Es sei lo = ⌊Position⌋ und hi = ⌈Position⌉, sowie frac = Position − lo. Das Perzentil ergibt sich als sortiert[lo] + frac × (sortiert[hi] − sortiert[lo]).

Ist die Position eine ganze Zahl, so entfällt die Interpolation und das Ergebnis entspricht genau dem Wert an dieser Stelle. Bei p = 0 ist das Ergebnis das Minimum, bei p = 100 das Maximum.

Rechenbeispiel

Gegeben sei der Datensatz 4, 8, 15, 16, 23, 42 — sechs Werte in aufsteigender Reihenfolge.

Q1 (p = 25): Position = (6 − 1) × 0,25 = 1,25. Wert an Stelle 1: 8; Wert an Stelle 2: 15. Q1 = 8 + 0,25 × (15 − 8) = 8 + 1,75 = 9,75.

Q2 / Median (p = 50): Position = 5 × 0,50 = 2,5. Werte an Stellen 2 und 3: 15 und 16. Q2 = 15 + 0,5 × (16 − 15) = 15,5.

Q3 (p = 75): Position = 5 × 0,75 = 3,75. Werte an Stellen 3 und 4: 16 und 23. Q3 = 16 + 0,75 × (23 − 16) = 16 + 5,25 = 21,25.

IQR = Q3 − Q1 = 21,25 − 9,75 = 11,5. Die mittlere Hälfte dieses Datensatzes umfasst eine Spannweite von 11,5 Einheiten.

Für das 10. Perzentil: Position = 5 × 0,10 = 0,5. Werte an Stellen 0 und 1: 4 und 8. P10 = 4 + 0,5 × (8 − 4) = 6,0.

Quartile und der Boxplot

Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung — Minimum, Q1, Q2, Q3 und Maximum — bildet die Grundlage des Boxplots (auch Box-Whisker-Diagramm). Im Standardboxplot reicht die Box von Q1 bis Q3, die Linie innerhalb der Box markiert den Median (Q2), und die Antennen (Whisker) erstrecken sich bis zu den äußersten Werten, die noch innerhalb von 1,5 × IQR um die Boxgrenzen liegen.

Werte außerhalb der Antennen werden als Ausreißer gekennzeichnet. Im obigen Beispiel ergibt sich die untere Grenze als Q1 − 1,5 × IQR = 9,75 − 17,25 = −7,5 und die obere Grenze als Q3 + 1,5 × IQR = 21,25 + 17,25 = 38,5. Der Wert 42 überschreitet die obere Grenze und wäre im Boxplot als milder Ausreißer markiert.

IQR als robustes Streuungsmaß

Der Interquartilsabstand ist das gebräuchlichste robuste Maß für die statistische Streuung. Im Gegensatz zur Standardabweichung, bei der jede Abweichung vom Mittelwert quadriert und aufsummiert wird, berücksichtigt der IQR ausschließlich die mittleren 50 % der sortierten Werte. Ein einzelner Extremwert verändert weder Q1 noch Q3, sodass der IQR gegenüber Ausreißern unempfindlich bleibt.

Diese Eigenschaft macht den IQR zum bevorzugten Streuungsmaß bei schiefen Verteilungen — etwa bei Haushaltseinkommen, Immobilienpreisen oder Krankenhauswartezeiten —, bei denen die Standardabweichung durch wenige extreme Werte dominiert werden kann und ein verzerrtes Bild der typischen Variabilität vermittelt.

Verschiedene Perzentil-Konventionen

In R sind neun verschiedene Perzentilmethoden dokumentiert, und verschiedene wissenschaftliche Fachgebiete haben eigene Konventionen etabliert. Die wesentlichen Unterschiede betreffen den Umgang mit Bruchrängen sowie die Frage, ob dem Minimum der Rang 0 % oder 1/n × 100 % zugewiesen wird.

• Methode 7 (dieser Rechner, R-Standard, Excel PERCENTILE.INC, numpy-Standard): Position = (n − 1) × p/100. Dem Minimum entspricht p = 0, dem Maximum p = 100.
• Methode 6 (Excel PERCENTILE.EXC, SPSS-Standard): Position = n × p/100. Minimum und Maximum sind als Perzentile nicht erreichbar; der gültige Bereich liegt zwischen 1/(n+1) und n/(n+1).
• Methoden 1–3: Nächster-Rang-Methoden, die einen tatsächlich beobachteten Wert zurückgeben, ohne zu interpolieren. Methode 1 (Aufrunden) wird in einigen Lehrbüchern der deskriptiven Statistik verwendet.

Bei Datensätzen mit einigen Hundert oder mehr Beobachtungen liefern alle Methoden praktisch identische Ergebnisse. Unterschiede zeigen sich vor allem bei kleinen Stichproben. Bei einem softwareübergreifenden Vergleich von Perzentilwerten empfiehlt es sich, die jeweils verwendete Methode vorab zu klären.

Abgrenzung zum z-Wert

Ein Perzentil ist eine rein empirische Lagemaßzahl: Es beschreibt die Position eines Wertes innerhalb des vorliegenden Datensatzes, ohne eine bestimmte Verteilung vorauszusetzen. Das 90. Perzentil ist schlicht der Wert, unterhalb dessen 90 % der Daten liegen.

Ein z-Wert gibt hingegen an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert abweicht, und ist vor allem dann aussagekräftig, wenn die Daten annähernd normalverteilt sind. Unter einer perfekten Normalverteilung entspricht ein z-Wert von 1,28 dem 90. Perzentil. Bei einer stark schiefen oder multimodalen Verteilung kann derselbe z-Wert einem deutlich anderen empirischen Perzentil entsprechen.

Perzentile sind daher vorzuziehen, wenn die Verteilungsform unbekannt oder nicht normal ist — beispielsweise bei Einkommen, Testergebnissen mit Deckeneffekt oder medizinischen Referenzwerten. z-Werte empfehlen sich, wenn die Normalverteilungsannahme vertretbar ist und skalenunabhängige Vergleiche benötigt werden.

Mindestanzahl an Datenpunkten

Die lineare Interpolationsmethode erfordert mindestens zwei Datenpunkte. Bei genau zwei Werten werden die Quartile durch Interpolation über das einzige Intervall berechnet, und alle Werte zwischen Minimum und Maximum sind als Perzentile erreichbar.

Für verlässliche Perzentilschätzungen in der Praxis sind größere Stichproben erforderlich. Die Unsicherheit einer Stichprobenperzentile nimmt mit wachsendem Stichprobenumfang ab: Das 95-%-Konfidenzintervall für das wahre 90. Perzentil der Grundgesamtheit ist bei n = 20 erheblich breiter als bei n = 200.