Ultimo aggiornamento: 2026-06-06

Calcolare il valore di un polinomio in un punto

Un polinomio P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ associa un valore reale a ogni x. La valutazione diretta — calcolare ogni potenza di x, moltiplicarla per il coefficiente corrispondente e sommare il tutto — richiede O(n²) moltiplicazioni per un polinomio di grado n. Lo schema di Horner riduce questo costo a esattamente n moltiplicazioni e n addizioni, riscrivendo lo stesso polinomio come prodotto annidato:

$P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0$

Questo algoritmo è adottato internamente da tutti i moderni sistemi di calcolo algebrico e dalle librerie numeriche di riferimento.

Il calcolatore accetta i coefficienti del polinomio dal termine di grado massimo alla costante (ad esempio 1, -3, 2, 5 per x³ − 3x² + 2x + 5) e un valore di x, restituendo il grado, la forma estesa del polinomio e il valore P(x), accompagnati da un grafico interattivo della curva centrato sul punto di valutazione.

Lo schema di Horner passo per passo

L'algoritmo mantiene un accumulatore inizializzato al coefficiente direttivo aₙ. Per ciascun coefficiente successivo si esegue un'unica operazione di moltiplicazione-e-addizione:

$r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad \text{per } k = 1, 2, \ldots, n$

Dopo n passi l'accumulatore contiene P(x). Questo schema è ottimale: nessun algoritmo per la valutazione di un polinomio può usare meno di n moltiplicazioni.

Esempio guidato: P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 in x = 2 (coefficienti: 1, -3, 2, 5)

Pertanto P(2) = 5 — verificabile anche per calcolo diretto: 8 − 12 + 4 + 5 = 5.

Perché lo schema di Horner è più efficiente

La valutazione diretta calcola ogni potenza di x separatamente: x² = x·x, x³ = x²·x, e così via. Per un polinomio di grado n questo costa fino a n(n+1)/2 moltiplicazioni prima della sommatoria finale. Lo schema di Horner riutilizza ogni prodotto intermedio, portando il conteggio a esattamente n moltiplicazioni e n addizioni. Per n = 20, si passa da 210 moltiplicazioni a sole 20 — una riduzione di oltre 10 volte.

Lo schema di Horner è anche numericamente più stabile rispetto all'approccio diretto: meno valori intermedi di grande entità significa minor rischio di cancellazione catastrofica quando i coefficienti differiscono di molto in grandezza.

Come inserire i coefficienti

Elenchi i coefficienti dal termine di grado massimo alla costante, separati da virgola. Inserisca 0 per ogni potenza mancante — omettere gli zeri sposta tutti i coefficienti rimanenti al grado sbagliato.

Il grado è sempre pari al numero di valori inseriti meno uno. Un singolo valore è un polinomio di grado 0 (costante).

Applicazioni pratiche

La valutazione di polinomi è fondamentale in diversi ambiti dell'informatica e dell'ingegneria:

• Grafica computerizzata. Le curve di Bézier e le spline sono polinomi parametrici; il rendering di un singolo pixel su una cubica di Bézier richiede centinaia di valutazioni di un polinomio di grado 3 per ogni fotogramma.
• Elaborazione del segnale. I filtri FIR sono convoluzione valutata a ogni campione tramite moltiplicazione polinomiale nel dominio Z.
• Ricerca degli zeri. Il metodo di Newton per P(x) = 0 valuta P(x₀) e P′(x₀) a ogni iterazione — entrambi ricavabili da un unico passaggio di Horner.
• Funzioni hash e codici a ridondanza ciclica. I CRC valutano un polinomio binario modulo un polinomio generatore, che si traduce in un ciclo di Horner su GF(2).
• Sistemi di controllo. Le funzioni di trasferimento sono rapporti di polinomi in s (trasformata di Laplace) o in z (trasformata Z); l'analisi della stabilità richiede la valutazione del polinomio caratteristico sull'asse immaginario.

Relazione con la divisione sintetica

Lo schema di Horner è algebricamente identico alla divisione sintetica — il metodo abbreviato per dividere P(x) per un fattore lineare (x − c), noto nelle scuole italiane anche come regola di Ruffini. Il resto di tale divisione è uguale a P(c), e il polinomio quoziente Q(x) soddisfa P(x) = (x − c)Q(x) + P(c). Un singolo passaggio di Horner produce quindi contemporaneamente P(c) (il resto) e i coefficienti di Q(x). Valutando Q(c) si ottiene P′(c), che è la base del metodo iterativo di Newton per la ricerca degli zeri.

Approfondimenti

Per calcolare P′(x) insieme a P(x), utilizzi il Calcolatore della derivata di un polinomio in un punto. Per integrare il polinomio, utilizzi il Calcolatore dell'integrale definito di un polinomio. Per risolvere P(x) = 0, utilizzi il Risolutore di equazioni di secondo grado (grado 2) o il Soluzione dell'equazione di terzo grado (grado 3).