圓弓形計算機

最後更新：2026-05-20

圓弓形的計算量

圓弓形是圓上一條弦與其所對應弧線之間圍成的區域。在上方輸入半徑和圓心角，計算機會給出四個關鍵量：弦長、矢高、弧長及弓形面積。

圓弓形的定義

圓可以用許多方式分割，其中最常見的兩種是：

• 扇形 — 由兩條半徑與弧線圍成的「披薩切片」，從圓心向外延伸。
• 弓形 — 一條弦與弦所對應弧線之間的區域，如同從圓上直直切下一刀，不經過圓心。

一條弦會把圓分成兩個弓形：當圓心角 θ < π 時，較小的稱為劣弓形；較大的稱為優弓形。當 θ = π 時，弦正好是直徑，兩個「弓形」都是半圓。

矢高

矢高（sagitta，拉丁語意為「箭」）是從弦中點到弧中點的垂直距離，即弓形的高度。這個名稱形象地描述了弓形的形狀：弦如弓，弧如弦，矢高則是搭在弦上的箭。

對於半徑 r 與圓心角 θ（以弧度表示）：

$h = r\bigl(1 - \cos(\theta/2)\bigr)$

當 θ = π（半圓）時，矢高等於半徑——此時弦是直徑，弧頂點正好位於與弦中點相對的另一端。θ 趨近於 0 時，矢高趨近於 0；θ = 2π 時，矢高趨近於 2r（完整直徑）。

計算公式

以下公式均以 弧度 為角度單位，計算機會自動將角度或梯度換算成弧度再進行運算。

物理量	公式
弦長	$c = 2r\sin(\theta/2)$
矢高	$h = r(1 - \cos(\theta/2))$
弧長	$l = r\theta$
弓形面積	$A = \tfrac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$

弓形面積公式的推導

弓形面積等於扇形面積減去兩條半徑與弦圍成的等腰三角形面積。

• 扇形面積 = ½r²θ
• 三角形面積 = ½r²sin θ（底 = 弦長 = 2r sin(θ/2)，高 = r cos(θ/2)，相乘再取半即得 ½r² sin θ）
• 弓形面積 = 扇形面積 − 三角形面積 = ½r²θ − ½r²sin θ = ½r²(θ − sin θ)

計算實例

圓形窗戶半徑 r = 10 m，水平弦所對應的圓心角為 θ = 90°。

先換算單位：θ = π/2 ≈ 1.5708 弧度。

• 弦長 = 2 × 10 × sin(45°) = 20 × 0.7071 ≈ 14.14 m
• 矢高 = 10 × (1 − cos(45°)) = 10 × 0.2929 ≈ 2.93 m
• 弧長 = 10 × π/2 ≈ 15.71 m
• 弓形面積 = ½ × 100 × (π/2 − 1) ≈ 50 × 0.5708 ≈ 28.54 m²

作為參照，完整圓面積為 π × 100 ≈ 314.16 m²，這個 90° 弓形約佔整圓的 9.1%。