最後更新：2026-07-01

複數的四則運算

複數把實部與虛部結合成單一的量，寫作 a + bi，其中 i 是虛數單位，定義為 i² = −1。a 是實部，b 是虛部的係數。本工具接受兩個複數 z₁ = a + bi 與 z₂ = c + di，依你選擇的運算（加、減、乘、除）計算，並連同結果的模數與輻角一併呈現。

複數把實數線拓展到二維平面，因此在電機工程、訊號處理、控制理論與量子力學中不可或缺。

四種運算

加法與減法逐分量進行，就像向量相加一樣：

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

乘法像兩個二項式相乘那樣展開，並用 i² = −1 把 i² 項併回實部：

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

除法把分子與分母同乘以分母的共軛 c − di。如此可消去分母中的虛部，只留下實數 c² + d²：

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

除法對除了 0 + 0i 以外的所有 z₂ 都有定義；在 0 + 0i 時 c² + d² = 0。

範例

問題： 將 z₁ = 3 + 4i 乘以 z₂ = 1 + 2i。

取 a = 3、b = 4、c = 1、d = 2，套用乘法規則：

• 實部：ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• 虛部：ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

因此 z₁ z₂ = −5 + 10i。

結果的模數為 √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11.18，輻角為 atan2(10, −5) ≈ 116.57°。由於實部為負、虛部為正，故位於第二象限。

模數與輻角

每個複數都對應平面上的一點，實部在水平軸、虛部在垂直軸。可用兩個極座標量描述這一點：

• 模數 r = √(x² + y²) 是到原點的距離，衡量數的大小。
• 輻角 φ 是從正實軸量起的角度。雙參數反正切 φ = atan2(y, x) 會把角度放在正確的象限，並回傳介於 −180° 到 180°（弧度則為 −π 到 π）的值。

直角坐標式與極式

直角坐標式 x + yi 直接列出水平與垂直坐標。極式 r(cos φ + i sin φ) 則改用距離與角度。兩種形式描述同一個數，選擇哪一種端看是否方便。

加法與減法在直角坐標式下最簡單，因為各分量獨立組合。乘法、除法與乘冪在極式下最簡單：模數相乘或相除，輻角相加或相減。棣美弗定理正是建立在這一性質之上，把為複數求冪這項繁瑣工作化為對輻角做一次乘法。