條件機率與貝氏定理計算機

最後更新：2026-05-20

條件機率的基本概念

條件機率 P(A|B) 是在已知事件 B 發生的條件下，事件 A 發生的機率。其定義為：將樣本空間縮限至 B 為真的結果，再計算其中包含 A 的比例。本計算機接受三項輸入——先驗機率 P(A)、概似度 P(B|A)、偽陽性率 P(B|¬A)——並透過貝氏定理求得後驗機率 P(A|B)，同時計算聯合機率 P(A∩B) 與全機率 P(B)。

貝氏定理的推導步驟

貝氏定理透過兩個方向的證據，將後驗機率與先驗機率連結起來。

第一步 — 聯合機率

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

這是 A 為真且出現證據 B 的機率。

第二步 — B 的全機率

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + (1 - P(A)) \cdot P(B|\lnot A)$

B 的發生有兩條路徑：A 為真時（由先驗機率加權）和 A 為假時（由偽陽性率加權）。將兩條路徑加總，就得到觀察到 B 的整體機率。

第三步 — 後驗機率（貝氏定理）

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + (1-P(A)) \cdot P(B|\lnot A)}$

後驗機率就是「所有 B 事件中，同時涉及 A 的比例」。

公式的直觀解釋

每當 B 發生，背後有兩種可能：真陽性（A 為真而產生 B）和偽陽性（A 為假但 B 仍出現）。貝氏定理精確地計算這兩組數量。若偽陽性的來源很大——因為 P(B|¬A) 偏高，或因為 ¬A 的人數遠多於 A——真陽性就會被稀釋，後驗機率因此下降。

實例計算：醫學診斷的反直覺結果

某疾病的盛行率為 1%。一項診斷工具的敏感度為 99%（P(B|A) = 0.99），偽陽性率為 5%（P(B|¬A) = 0.05）。檢驗結果呈陽性時，真正患病的機率為何？

量	數值
P(A) — 盛行率	1% = 0.01
P(B|A) — 敏感度	99% = 0.99
P(B|¬A) — 偽陽性率	5% = 0.05

第一步： P(A∩B) = 0.01 × 0.99 = 0.0099

第二步： P(B) = 0.01 × 0.99 + 0.99 × 0.05 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594

第三步： P(A|B) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 16.7%

儘管該工具敏感度高達 99%，一次陽性結果實際上只代表約六分之一的患病機率。那 99% 的健康人產生了大量偽陽性（約 5%），遠多於 1% 患者的真陽性（約 1%），將訊號淹沒。這個反直覺的結果正是臨床上採用確認性複檢的根本原因。

基本比率謬誤

基本比率謬誤是指忽略先驗機率，只看眼前的證據就下結論。在上方例子中，若只聚焦於「99% 準確率」就認為「幾乎確定患病」，忽略的恰恰是最關鍵的資訊：這個病很罕見。疾病越稀少，偽陽性率就必須越低，陽性結果才具有可靠的診斷意義。公式精確捕捉了這個權衡：降低 P(A)（即疾病越罕見），即使維持高準確率，後驗機率也會隨之下降。

統計獨立性

若 P(B|A) 等於 P(B|¬A)，代表證據 B 與事件 A 在統計上相互獨立——觀察到 B 並不改變對 A 的判斷。此時全機率 P(B) 等於兩個概似度的共同值，貝氏定理化簡為 P(A|B) = P(A)。以 P(B|A) = P(B|¬A) = 50% 代入可驗證：無論 P(A) 取何值，後驗機率均等於先驗機率。

常見問題（FAQ）

貝氏定理是什麼？

貝氏定理描述如何在觀察到證據 B 之後，更新假設 A 成立的機率。公式為 P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中 P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·(1−P(A))。它是貝氏統計、垃圾郵件過濾、醫學診斷與機器學習的數學基礎。最關鍵的洞見在於：後驗機率 P(A|B) 深受先驗機率 P(A) 影響——忽略先驗就會陷入基本比率謬誤。

什麼是基本比率謬誤？

基本比率謬誤是指忽略事件的先驗機率（基本比率），只看眼前的檢驗結果。舉例來說：一項準確率達 99% 的疾病檢驗聽起來很可靠，但若該病盛行率僅 1%，陽性結果代表真的患病的機率大約只有 50%。先驗機率低（1%）意味著大多數陽性都是偽陽性。以 P(A) = 1%、P(B|A) = 99%、P(B|¬A) = 1% 代入計算機可驗證此結果。

條件機率與聯合機率有什麼不同？

聯合機率 P(A ∩ B) 是 A 與 B 同時發生的機率。條件機率 P(A|B) 則是在已知 B 發生的前提下，A 發生的機率——也就是將樣本空間縮限到 B 為真的結果，再計算其中包含 A 的比例。兩者的關係為 P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)。若 A 與 B 相互獨立，則 P(A|B) = P(A)，表示得知 B 並不提供任何關於 A 的額外資訊。

為什麼醫學檢驗呈陽性不代表一定罹病？

當疾病很罕見時，即使準確率極高的檢驗也可能產生誤導。若某病僅有 0.1% 的人罹患，而檢驗的偽陽性率為 5%，大多數陽性結果都來自那 99.9% 的健康人——真正的陽性被淹沒。以 P(A) = 0.1%、P(B|A) = 95%、P(B|¬A) = 5% 代入貝氏定理，可得 P(A|B) ≈ 1.9%，超過 98% 的陽性都是偽陽性。這正是臨床上採用確認性複檢的原因。