最後更新：2026-07-13

母體比例信賴區間

當民調報導有 64% 的受訪者支持某項政策時，這單一百分比只是來自一份樣本的點估計。信賴區間把它化為母體真實比例的一段合理值範圍，並附上所宣稱的信賴水準。它把樣本比例與誤差範圍結合，後者反映估計值在不同樣本之間可能的變動幅度。

公式

在樣本數 $n$ 中有 $x$ 次成功時，樣本比例為：

$$\hat{p} = \frac{x}{n}$$

標準誤：

$$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}$$

誤差範圍：

$$E = z^{*} \times SE = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}$$

Wald 信賴區間：

$$\hat{p} \pm E = \left[\hat{p} - E,\ \hat{p} + E\right]$$

臨界 z 值（標準常態分布）：

信賴水準	$z^{*}$
90%	1.6449
95%	1.9600
99%	2.5758

Wald 與 Wilson 的比較

上述 Wald 區間是多數入門教科書中的公式：以 $\hat{p}$ 為中心對稱、易於計算。其弱點在於仰賴二項分布的常態近似，當樣本小或比例接近 0 或 1 時便會失效。此時 Wald 區間過窄，其涵蓋率低於所宣稱的水準，甚至可能產生低於 0% 或高於 100% 的界限。

Wilson 分數區間改以反轉分數檢定的方式解決此問題，而非假設對稱：

$$\frac{\hat{p} + \dfrac{z^{*2}}{2n} \pm z^{*}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \dfrac{z^{*2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{*2}}{n}}$$

Wilson 的界限始終落在 0 到 100% 之間，區間呈不對稱，且即使 $n$ 很小，涵蓋率仍接近目標信賴水準。如今許多統計學家把 Wilson 視為預設；本計算機同時呈現兩者，方便並列比較。

常態近似何時成立？

一項常用的經驗法則是：唯有同時滿足

$$n\hat{p} \geq 5 \quad \text{且} \quad n(1 - \hat{p}) \geq 5$$

時（部分教科書要求 10），才可信賴 Wald 區間。若成功次數極少、比例接近 0 或 1，或樣本很小，則改用 Wilson 分數區間或精確的 Clopper–Pearson 區間。

解讀

95% 信賴區間並不表示真實比例有 95% 的機率落在某個範圍內。母體真實比例是固定的未知常數——隨機的對象是區間，因為它由隨機樣本建構而成。

其精確意義是對程序的陳述：若把相同的抽樣與區間建構重複許多次，所得區間中約有 95% 會包含真實比例。任一特定區間，不是包含它就是不包含。

民調與誤差範圍

民調報導通常只給出單一的「誤差範圍 ±3 個百分點」。這個數字正是 95% 信賴水準下的 $E = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$。由於 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 在 $\hat{p} = 0.5$ 時最大，調查機構常以 $\hat{p} = 0.5$ 報告誤差，使單一數字得以保守地涵蓋所有題目。

誤差範圍隨 $\sqrt{n}$ 縮小：要將它減半，需要四倍的樣本數。

樣本數	誤差範圍（95%，$\hat{p} = 0.5$）
n = 100	±9.8
n = 400	±4.9
n = 1000	±3.1
n = 1600	±2.5

計算範例：支持度調查

一項針對 500 名選民的調查中，有 320 人支持某項提案。

樣本比例： $\hat{p} = 320 / 500 = 0.64$

標準誤： $SE = \sqrt{0.64 \times 0.36 / 500} \approx 0.0215$

95% 誤差範圍： $E = 1.96 \times 0.0215 \approx 0.0421$

Wald 區間：

$$0.64 \pm 0.0421 = [0.5979,\ 0.6821] = [59.79\%,\ 68.21\%]$$

同一組資料的 Wilson 分數區間為 $[59.70\%,\ 68.09\%]$——由於 $n = 500$ 很大且 $\hat{p} = 0.64$ 遠離兩端，此處兩者幾乎相同。當樣本小或比例接近 0 或 1 時，兩區間的差異最大。

解讀：「根據這 500 人的樣本，我們以 95% 的信賴度估計，全體選民中約有 60% 至 68% 支持該提案。」

常見問題（FAQ）

Wald 區間與 Wilson 區間有何不同？

Wald 區間（p̂ ± z*·√(p̂(1−p̂)/n)）是教科書的公式：簡單、以 p̂ 為中心對稱、計算迅速。當樣本大且 p̂ 接近 0.5 時表現良好，但在樣本小或比例接近 0 或 1 時表現不佳，甚至可能產生低於 0% 或高於 100% 的界限。Wilson 分數區間以反轉分數檢定的方式解決同樣的問題：它始終落在 0 到 100% 之間、呈不對稱，且即使 n 很小，涵蓋率也接近所宣稱的水準。如今許多統計學家建議將 Wilson 作為預設。本計算機同時顯示兩者供你比較。

這與民調的「誤差範圍」有什麼關係？

當民調報導「支持率 52%，誤差範圍 ±3 個百分點」時，那個 ±3 正是 95% 信賴水準下的誤差範圍 E = z*·√(p̂(1−p̂)/n)。由於 p̂(1−p̂) 在 p̂ = 0.5 時最大，調查機構通常以 p̂ = 0.5 報告誤差，使單一數字得以保守地涵蓋問卷中的每一題。將報導的比例以成功次數與樣本數輸入，即可重現該區間。

常態近似何時成立？

Wald 區間仰賴二項分布的常態近似，當 n·p̂ 與 n·(1 − p̂) 皆至少為 5（部分教科書採用 10）時較為合理。若成功次數很少或比例接近 0 或 1，近似便會失效，Wald 區間也變得不可靠——正是此時應改用 Wilson 分數區間（或精確的 Clopper–Pearson 區間）。

得到的區間該如何解讀？

95% 信賴區間為 59.79% 到 68.21%，並不表示真實比例有 95% 的機率落在此範圍內——真實比例是固定的。它的意思是：產生此區間的程序，在重複抽樣時有 95% 的機會涵蓋真實的母體比例。實務上，你可以相當有信心地認為真實比例落在所示界限之間；區間越寬，代表樣本越小或信賴水準越嚴格。