皮爾森相關係數計算機

最後更新：2026-05-22

皮爾森相關係數

皮爾森相關係數（Pearson correlation coefficient，以下簡稱 r）是衡量兩個連續數值變數之間線性關係強弱與方向的統計量，取值範圍為 −1 至 +1。r = +1 表示完全正線性相關，r = −1 表示完全負線性相關，r = 0 則表示兩變數之間不存在線性關聯。

輸入兩組等長的逗號分隔數值，計算機會回傳皮爾森相關係數（r）、決定係數（r²），以及相關強度的文字判讀。適用於任何想了解「兩個數值變數是否沿著直線一起變動」的情境。

公式

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

分子是各點偏差乘積之和，反映 X 與 Y 偏離各自平均值時，方向是否一致（同向乘積為正，反向為負）。分母以兩組資料的總體散布量作正規化，使 r 恆介於 −1 與 +1 之間，不受 X 或 Y 的量綱影響。

計算範例

以預設資料為例：X = [1, 2, 3, 4, 5]，Y = [2, 4, 5, 4, 5]。

步驟一：計算平均值

$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3 \qquad \bar{y} = \frac{2+4+5+4+5}{5} = 4$

步驟二：計算各點偏差與交叉乘積

i	xᵢ	xᵢ − x̄	yᵢ	yᵢ − ȳ	(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)	(xᵢ−x̄)²	(yᵢ−ȳ)²
1	1	−2	2	−2	4	4	4
2	2	−1	4	0	0	1	0
3	3	0	5	+1	0	0	1
4	4	+1	4	0	0	1	0
5	5	+2	5	+1	2	4	1
		合計			6	10	6

步驟三：代入公式

$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$

$r^2 = (0.7746)^2 \approx 0.60$

解讀： r ≈ 0.77，屬於強正相關。Y 約有 60% 的變異可由 X 的線性關係解釋。

r 值的判讀

r 值	判讀
+1.0	完全正線性相關
+0.7 ≤ r < +1.0	強正相關
+0.3 ≤ r < +0.7	中度正相關
|r| < 0.3	弱相關或無線性關係
−0.7 < r ≤ −0.3	中度負相關
−1.0 < r ≤ −0.7	強負相關
−1.0	完全負線性相關

以上門檻僅供參考，並非通用標準。流行病學研究中 r = 0.3 可能具有實際意義；工程量測中 r < 0.99 可能代表雜訊偏高。

r 與 r² 的區別

r 和 r² 回答的是不同問題：

• r 反映線性關聯的方向與強弱。−0.9 與 +0.9 的強度相同，符號告訴你關係的走向。
• r²（決定係數）反映的是 X 能解釋 Y 變異的比例，範圍從 0 到 1，沒有正負號。r² = 0.64 表示 Y 有 64% 的散布程度可歸因於與 X 的線性趨勢。

只想知道「線性擬合有多緊密」時，看 r；想量化「X 對 Y 的解釋力有多強」時，用 r²。

相關不等於因果

r 值高只代表 X 與 Y 在線性方向上同步變動，不能說明「為什麼」。幾個典型例子：

• 冰品銷量與溺水人數在夏季同步上升（共同原因：炎熱天氣）。
• 兒童的鞋碼與閱讀能力呈正相關（共同原因：年齡增長）。
• 每戶電視機數量多的國家，平均壽命也較長（兩者皆反映經濟發展水準）。

要確立因果關係，需要：設計對照實驗、排除混淆變數，並確認原因在時間上先於結果發生。

適用條件與斯皮爾曼替代法

皮爾森 r 有幾個前提假設：

1. 兩個變數均為連續量（等距或比例尺度）。
2. 關係近似線性。
3. 不存在主導整體結果的極端值。

當這些條件不成立時，建議改用斯皮爾曼等級相關係數（Spearman rank correlation）：先將兩組資料轉換為排名，再對排名計算皮爾森 r。斯皮爾曼對順序資料、單調但曲線型的關係，以及含有極端值的資料集，都有更好的適應性。實務判斷原則：若散佈圖呈現一致但明顯彎曲的型態，或少數幾個點大幅左右了 r 值，選斯皮爾曼會更穩妥。

常見問題（FAQ）

r = 0.7 代表什麼意思？

r = 0.7 表示 X 與 Y 之間存在強正線性關係。當 X 增大時，Y 也傾向同步增大，且散點相當集中於一條直線附近。一般慣例是：|r| ≥ 0.7 視為強相關、0.3 ≤ |r| < 0.7 視為中度相關、|r| < 0.3 視為弱相關，但確切門檻因領域而異。社會科學中 r = 0.5 已算顯著；在工程或物理量測中，r < 0.99 可能代表雜訊過高。

相關係數高就代表有因果關係嗎？

不是。高 r 值只說明 X 與 Y 在線性方向上同步變動，並不能解釋「為什麼」。背後可能有第三個混淆變數同時影響兩者。例如：夏天冰品銷量與溺水人數都會上升，但吃冰不會導致溺水——真正的共同原因是高溫天氣。要確立因果關係，需要對照實驗、確認時間先後順序，並排除混淆因素。相關性只是關係存在的線索，不是機制的證明。

r 和 r² 有什麼不同？

r（皮爾森相關係數）同時反映線性關係的方向與強弱，範圍從 −1（完全負相關）到 +1（完全正相關）。r²（決定係數）則告訴你 Y 的變異有多少比例可由 X 的線性關係解釋。例如 r = 0.8 時，r² = 0.64，意思是 Y 的 64% 變異可歸因於與 X 的線性趨勢。r² 恆為非負值，易於以百分比解讀，但會遺失方向資訊——光看 r² 無法判斷關係是正向還是負向。

什麼時候應該用斯皮爾曼而非皮爾森？

當資料為順序尺度（例如問卷中的「非常同意／同意／普通」等級）、X 與 Y 之間的關係是單調但非線性，或資料中含有明顯極端值時，建議改用斯皮爾曼等級相關係數（Spearman rank correlation）。斯皮爾曼會先將原始數值轉換為排名，再計算皮爾森 r，因此對極端值與非線性但一致遞增（或遞減）的型態更為穩健。皮爾森 r 的最佳適用情境：兩個變數皆為連續量、近似常態分布，且關係基本上是線性的。實務上，若散佈圖顯示曲線型但一致的趨勢，或少數幾個點明顯左右了 r 的大小，改用斯皮爾曼通常更合適。