最後更新：2026-06-10

正方體的幾何量

正方體是各稜等長的特殊長方體，只需一個邊長 s，即可完全確定體積、表面積、面對角線、空間對角線及稜長總和等所有幾何量。

公式一覽

邊長為 s 的正方體：

量	公式	意義
體積	V = s³	正方體內部空間
表面積	A = 6s²	六個面的面積總和
面對角線	$d_f = s\sqrt{2}$	一個正方形面的對角線
空間對角線	$d_s = s\sqrt{3}$	穿越內部連接對頂點的直線
稜長總和	L = 12s	12 條稜的長度合計

表面積為 6s² 的由來

正方體有 6 個相同的正方形面，每面面積為 s²，合計 6 × s²。s = 10 cm 時：A = 6 × 100 = 600 cm²。

面對角線推導

每個面是邊長為 s 的正方形，利用畢氏定理：

$d_f = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$

s = 10 cm 時：$d_f = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ cm。

空間對角線推導

空間對角線連接正方體兩個對頂點，穿過內部。應用三維畢氏定理：先求面對角線 d_f，再以此為底、邊長 s 為高求斜線：

$d_s = \sqrt{d_f^2 + s^2} = \sqrt{2s^2 + s^2} = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

s = 10 cm 時：$d_s = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ cm。空間對角線永遠比面對角線長（$\sqrt{3} > \sqrt{2}$）。

與長方體的關係

正方體即 l = w = h = s 的長方體，代入長方體公式：

• V = l·w·h → s·s·s = s³
• A = 2(lw + lh + wh) → 2(s² + s² + s²) = 6s²
• 空間對角線 = $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \to \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$

體積的三次方比例關係

體積與 s³ 成正比，邊長的倍率對體積影響顯著：

邊長倍率	體積倍率	表面積倍率
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

20 cm 的箱子看起來只比 10 cm 大一倍，但容積是 8 倍。

計算範例

範例一 — 冰塊

一般冰塊邊長約 s ≈ 2.5 cm（0.025 m）。

體積： V = 0.025³ ≈ 15.6 cm³ ≈ 15.6 mL 表面積： A = 6 × 0.025² = 37.5 cm² 空間對角線： $d_s = 0.025 \times \sqrt{3} \approx 4.33$ cm

範例二 — 包裝紙箱

邊長 30 cm 的正方體紙箱：

體積： V = 30³ = 27,000 cm³ = 27 公升 表面積： A = 6 × 900 = 5,400 cm²（所需紙板面積） 稜長總和： L = 12 × 30 = 360 cm（封箱膠帶需要量）

範例三 — 由體積反推邊長

已知體積 V = 1,000 cm³，邊長為：

s = ∛V = ∛1000 = 10 cm

V = 8 m³ 時：s = ∛8 = 2 m。

常見問題（FAQ）

正方體的空間對角線怎麼算？

邊長為 s 的正方體，空間對角線長度為 d = s√3。它連接兩個對頂點並穿過正方體內部。例如 s = 10 cm 時，d = 10√3 ≈ 17.32 cm。

面對角線和空間對角線有什麼不同？

面對角線位於某一正方形面上，長度為 s√2；空間對角線穿過正方體內部，連接對頂點，長度為 s√3。s = 10 cm 時：面對角線 ≈ 14.14 cm，空間對角線 ≈ 17.32 cm。

知道體積要怎麼反推邊長？

由 V = s³ 得 s = ∛V。例如 V = 1,000 cm³ 時，s = ∛1000 = 10 cm；V = 8 m³ 時，s = 2 m。

正方體表面積為何是 6s²？

正方體有 6 個相同的正方形面，每面面積為 s²，合計 A = 6s²。s = 5 cm 時，A = 6 × 25 = 150 cm²。