最後更新：2026-07-01

這個計算器的功能

這個計算器求 2×2 矩陣的特徵值與特徵向量。輸入 A = [[a, b], [c, d]] 的四個元素後，它會給出跡、行列式、特徵方程式、兩個特徵值（實數或複數），以及每個實特徵值對應的特徵向量，並附上逐步計算過程。

矩陣 A 的特徵向量是一個非零向量，當 A 作用於它時方向不變。使其縮放的倍率就是特徵值。

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

特徵方程式

將 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 改寫為 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$。只有當矩陣 $A - \lambda I$ 為奇異矩陣，也就是其行列式為零時，才存在非零解。

$\det(A - \lambda I) = 0$

對 2×2 矩陣而言，這會展開成關於 $\lambda$ 的二次方程式。

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

其中跡為 $\operatorname{tr}A = a + d$，行列式為 $\det A = ad - bc$。僅憑這兩個不變量即可確定兩個特徵值。

解出特徵值

對特徵方程式套用求根公式。

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

根號內的量 $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$ 稱為判別式，其符號決定特徵值的性質。

• $\Delta > 0$：兩個相異的實特徵值。
• $\Delta = 0$：一個重複的實特徵值。
• $\Delta < 0$：一對共軛複數 $\alpha \pm \beta i$。

計算範例

考慮對稱矩陣 [[2, 1], [1, 2]]。

先求跡與行列式。

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

特徵方程式與其判別式為：

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

由於 $\Delta > 0$，特徵值為實數。

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

求特徵向量

對每個特徵值 $\lambda$ 解 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$。在 2×2 矩陣中兩列成比例，因此單一列即可確定方向。當 $b \neq 0$ 時，$\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$ 是可靠的選法。

當 $\lambda_1 = 3$：

$$$$

當 $\lambda_2 = 1$：

$$$$

由於將向量縮放不會改變方向，這些向量的任何非零倍數也都是特徵向量。快速驗算可確認 $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$ 且 $A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$。

複數的情形

當 $\Delta < 0$ 時，根號內為負，特徵值成為一對共軛複數。

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

旋轉矩陣是典型例子。90 度旋轉 [[0, −1], [1, 0]] 的跡為 0、行列式為 1，因此 $\Delta = 0 - 4 = -4$，特徵值為 $\pm i$。旋轉不保持任何實方向，這正是不存在實特徵向量的原因；此時特徵向量位於複數平面中。

跡、行列式與特徵值的關係

這兩個不變量與特徵值直接相關，可用來快速驗算。

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

在範例中，$3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$，$3 \cdot 1 = 3 = \det A$。若由特徵值無法還原出跡與行列式，代表某處出現了計算錯誤。

特徵值的應用

• 對角化：具相異特徵值的矩陣可寫成 $A = PDP^{-1}$，其中 $D$ 為由特徵值構成的對角矩陣，使冪次 $A^n$ 易於計算。
• 穩定性：對系統 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$，特徵值實部的符號決定解會增長還是衰減。
• 主方向：對稱矩陣的特徵向量彼此正交，標示出伸縮的軸，這是主成分分析與二次型幾何的基礎。

常見問題（FAQ）

什麼是特徵值與特徵向量？

矩陣 A 的特徵向量是一個非零向量 v，當 A 作用於它時方向不變，即 Av = λv。純量 λ 是特徵值，表示向量沿該方向被拉長（λ > 1）、壓縮（0 < λ < 1）或翻轉（λ < 0）的倍率。

如何求 2×2 矩陣的特徵值？

解特徵方程式 det(A − λI) = 0。對 2×2 矩陣而言，它展開為 λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0，即 λ² − (跡)λ + det = 0。套用求根公式可得 λ = (跡 ± √((跡)² − 4·det)) / 2。

特徵值為複數代表什麼？

當判別式 (跡)² − 4·det 為負時，兩個特徵值為共軛複數 α ± βi。這常見於使平面旋轉的矩陣，例如許多 2×2 旋轉矩陣。由於沒有任何實方向被保持，因此不存在實數特徵向量。

已知特徵值後如何求特徵向量？

將特徵值 λ 代入 A − λI，再解 (A − λI)v = 0。在 2×2 矩陣中兩列成比例，因此單一方程式即可確定方向。當 b ≠ 0 時取 v = (b, λ − a)，當 c ≠ 0 時取 v = (λ − d, c) 較為方便。其任何非零倍數也都是特徵向量。