最後更新：2026-07-02

橢圓的焦點

處於標準位置的橢圓可用下式表示：

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

其中 $a$ 是 x 方向的半軸，$b$ 是 y 方向的半軸。每個橢圓內部都有兩個特別的點，即焦點。正是它們使橢圓成為橢圓：對曲線上任一點而言，到兩焦點的距離之和為定值。把一段繩圈套在兩根圖釘上，用鉛筆繃緊描繪，鉛筆就會畫出以這兩根圖釘為焦點的橢圓。

本工具由 $a$ 與 $b$ 求出焦距、焦點本身、離心率、頂點，以及長軸與短軸的長度。

半長軸與半短軸

兩軸中較長者為長軸，較短者為短軸，各自的一半即為半軸。為使公式與方向無關，將較大的半軸記為 $A$、較小的記為 $B$：

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

焦點永遠位於長軸上。若 $a > b$，長軸為橫向；若 $b > a$，則為縱向。

焦距

中心到每個焦點的距離 $c$ 由半軸求得：

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

由於 $A \ge B$，根號內的量絕不為負。橫向橢圓的焦點在 $(\pm c, 0)$，縱向則在 $(0, \pm c)$。

離心率

離心率衡量橢圓偏離圓的程度：

$e = \frac{c}{A}$

它恆滿足 $0 \le e < 1$。當 $a = b$ 時兩半軸相等，$c = 0$、$e = 0$，橢圓即為圓。當一軸相對於另一軸變大時，$e$ 趨近 $1$，橢圓變得又長又窄。

頂點與軸的長度

頂點是長軸的端點，與中心相距 $A$：橫向橢圓為 $(\pm A, 0)$，縱向為 $(0, \pm A)$。短軸的端點稱為共頂點。軸的完整長度為

$\text{長軸} = 2A \qquad \text{短軸} = 2B$

例題

題目： 求 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的焦點、離心率與軸長。

步驟 1 — 讀出半軸： $a^2 = 25$ 故 $a = 5$，$b^2 = 9$ 故 $b = 3$。因為 $a > b$，長軸為橫向，$A = 5$、$B = 3$。

步驟 2 — 焦距：

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

步驟 3 — 焦點： 位於橫向長軸上的 $(\pm 4, 0)$，即 $F_1 = (-4, 0)$、$F_2 = (4, 0)$。

步驟 4 — 離心率：

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0.8$

步驟 5 — 頂點與軸： 頂點在 $(\pm 5, 0)$；長軸 $2A = 10$，短軸 $2B = 6$。

因此此橢圓的焦點為 $(-4, 0)$ 與 $(4, 0)$，離心率為 $0.8$，軸長為 $10$ 與 $6$。

縱向橢圓

當 $b > a$ 時，橢圓高大於寬，長軸為縱向。角色隨之互換：$A = b$、$B = a$，焦點移到 y 軸上的 $(0, \pm c)$。例如 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ 中 $A = 5$、$B = 3$，$c = 4$ 與先前相同，但焦點為 $(0, -4)$ 與 $(0, 4)$。本工具會依較大的半軸自動判斷方向。

為何距離之和為定值

定義橢圓的性質 $r_1 + r_2 = 2A$ 與 $c$ 直接相關。在長軸的頂點處，一條焦半徑為 $A + c$、另一條為 $A - c$，兩者之和為 $2A$。在共頂點處，由對稱性兩焦半徑相等，各自由一焦點延伸距離 $\sqrt{B^2 + c^2}$；令其等於 $A$ 即得 $A^2 = B^2 + c^2$，重排後成為 $c = \sqrt{A^2 - B^2}$。這一個關係式便把焦點、軸與離心率連結在一起。

常見問題（FAQ）

橢圓的焦點是什麼？

焦點是橢圓內部的兩個定點，決定了橢圓的形狀。對橢圓上任一點而言，到兩個焦點的距離之和為定值，等於長軸長度 2A。這個「距離之和為定值」的性質，正是用繩子和兩根圖釘畫橢圓的原理。焦點永遠位於長軸上，對中心對稱，與中心相距 c = √(A² − B²)。

如何求 x²/a² + y²/b² = 1 的焦點？

先判斷哪一軸較長。若 a > b，長軸為橫向且 A = a、B = b；若 b > a，則為縱向且 A = b、B = a。接著計算焦距 c = √(A² − B²)。橫向橢圓的焦點在 (±c, 0)，縱向則在 (0, ±c)。例如 x²/25 + y²/9 = 1 中 A = 5、B = 3，因此 c = √(25 − 9) = √16 = 4，焦點為 (−4, 0) 與 (4, 0)。

離心率代表什麼？

離心率 e = c/A 衡量橢圓偏離圓的程度。當兩個半軸相等時，c = 0、e = 0，即為圓。當一軸相對於另一軸變大時，c 趨近 A、e 趨近 1，描述越來越被拉長的橢圓。舉例來說，行星軌道是離心率很小的橢圓，地球約為 0.017。

當 b 大於 a 時有什麼不同？

當 b > a 時，橢圓高大於寬，因此長軸為縱向。半軸的角色互換：A = b 成為半長軸、B = a 成為半短軸。焦距仍為 c = √(A² − B²)，但焦點改而落在 y 軸上的 (0, ±c)，而非 x 軸上。本工具會依你輸入的數值自動判斷方向。