最後更新：2026-07-13

這個計算機的用途

這個計算機以高斯消去法求解三個未知數 x、y、z 的三元一次方程組：

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

它把十二個係數與常數寫成增廣矩陣，以列運算把矩陣化為列梯形，再回代求出解 (x, y, z)。當係數矩陣奇異時，會回報方程組沒有唯一解。

增廣矩陣

把係數與右端疊在一起就得到增廣矩陣，中間以一條豎線把係數區塊與常數分開：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

高斯消去法的每一步都是這個矩陣上的列運算：交換兩列、將一列乘上倍率，或把某列的倍數加到另一列。這些都不改變解集。

前向消去

前向消去的目標是逐欄在對角線下方造出零，直到矩陣成為上三角（列梯形）。

步驟 1 — 消去 x 欄。 用第一個主元 a₁，從第 2、3 列扣除第 1 列的倍數：

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

步驟 2 — 消去 y 欄。 用新的第二主元 b₂′，從第 3 列扣除第 2 列的倍數：

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

矩陣現在成為上三角：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

回代

最後一列只剩 z，可直接解出，數值再往上傳遞：

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

由於矩陣為三角形，其行列式就是對角線各主元的乘積 $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$。乘積非零即確認有唯一解。

範例演算

求解預設方程組：

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

步驟 1 — 乘數與第一次掃除。 主元 a₁ = 2 時：

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

從第 1 列扣除這些倍數，得

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

步驟 2 — 消去 y 欄。 主元 b₂′ = 1/2 時：

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

步驟 3 — 回代：

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

行列式為各主元的乘積 $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$，確認唯一解 (x, y, z) = (2, 3, −1)。

驗算：

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

當消去停滯

有兩種情況會打斷上面的乾淨掃除：

• 主元為零、但方程組非奇異。 若對角線上的係數為零——例如第一個方程式沒有 x 項——乘數就會除以零。解決之道是部分主元選取：把出問題的列與下方某列（該欄有非零元素）交換後再繼續。解不變，只是列的順序改變。數值軟體也會換到可用的最大主元，以壓低捨入誤差。
• 無法修正的零主元。 若消去在係數各欄產生一整列的零，則行列式為零，係數矩陣奇異。此時方程組有無限多組解（常數與相依關係相容）或完全無解（互相矛盾），不存在唯一的 (x, y, z)。

高斯消去法與克拉瑪公式

對非奇異方程組，兩種方法給出相同答案。克拉瑪公式把每個未知數寫成行列式之比，對 3×3 很優雅，但規模一大就變得昂貴。高斯消去法以列運算變換整個方程組，擴充性好得多，是數值程式庫線性求解器的骨幹。若一路化到最簡列梯形（RREF）——每個主元為 1、其上方元素也一併消去——便可直接讀出解，無須另外回代。

應用

三變數方程組出現在代數與微積分先修、以克希荷夫定律分析三個迴路的電路、平衡化學反應式，以及任何需要三個線性條件同時成立的場合。高斯消去法是這類方程組的標準手算法，也是 LU 分解與大部分計算線性代數的概念起點。

常見問題（FAQ）

什麼是高斯消去法？

高斯消去法是透過方程式相互組合、系統化求解線性方程組的方法。把方程組寫成增廣矩陣後，從其他列扣除某一列的倍數，在對角線下方造出零，直到化為上三角（列梯形）。此時最後一列只剩一個未知數，再用回代由下而上求出其餘未知數。

它和克拉瑪公式有何不同？

兩者得到相同的解。克拉瑪公式把每個未知數寫成行列式之比，在 3×3 時很精簡，但規模一大就迅速變得昂貴。高斯消去法以列運算變換整個方程組，對大型系統的擴充性好得多，也是多數數值線性代數軟體的基礎。本工具展示消去步驟，而行列式以各主元的乘積呈現。

列梯形（REF）與最簡列梯形（RREF）有何差異？

列梯形（REF）在每個領先元素下方都是零，呈上三角形，最後以回代收尾。最簡列梯形（RREF）更進一步：每個領先元素為 1，其上方元素也一併消去，於是可直接讀出解。本計算機先化到列梯形再回代，正是高斯消去法的經典路徑。

為何我的方程組顯示「沒有唯一解」？

這則訊息在行列式為零時出現，代表某一方程式是其他方程式的線性組合。此時消去會在係數欄產生一整列的零。依常數而定，方程組有無限多組解或完全無解。唯有三個主元皆非零時才存在唯一解。

消去過程中為何要換列？

若要拿來相除的主元為零，即使是有唯一解的方程組，自然順序的消去也會失敗。把出問題的列與下方某列交換（部分主元選取），在對角線放上非零元素，消去便能繼續。數值軟體也會換列以選取可用的最大主元，讓捨入誤差保持很小。