最後更新：2026-07-02

雙曲線的方程式

雙曲線是與兩個定點（焦點）的距離之差為定值的所有點所成的集合。中心為 $(h, k)$ 的水平雙曲線具有下列標準式：

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

把雙曲線與橢圓區分開來的正是這個負號。它產生向左右張開、彼此分離的兩支，每一支都朝著一對稱為漸近線的直線延伸。本計算器由半實軸 $a$、半虛軸 $b$ 與中心 $(h, k)$ 出發，求出焦距、頂點、焦點、離心率與漸近線斜率。

頂點、焦點與焦距

頂點是兩支最接近的兩個點，位於實軸上，距中心 $a$：

$V = (h \pm a,\ k)$

焦點則更靠外，距中心 $c$，其中

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

由於 $b^2 > 0$，恆有 $c > a$。這與橢圓的關係式 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ 相反：在雙曲線中，焦點位於頂點的外側，而非內側。

漸近線與離心率

遠離中心時，每一支都會貼近通過中心、斜率為 $\pm b/a$ 的兩條直線之一：

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

手繪時的快速做法是：以 $(h, k)$ 為中心畫出寬 $2a$、高 $2b$ 的基準矩形，其對角線的延長線即為漸近線。

離心率衡量兩支張開的程度：

$e = \frac{c}{a}$

由於 $c > a$，雙曲線恆有 $e > 1$。（橢圓為 $0 \le e < 1$，拋物線恰為 $e = 1$。）

例題

問題： 描述雙曲線 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$。

步驟 1 — 讀取半軸： $a^2 = 9$、$b^2 = 16$，故 $a = 3$、$b = 4$。中心為 $(0, 0)$。

步驟 2 — 頂點： 位於 $(\pm a, 0) = (3, 0)$ 與 $(-3, 0)$。

步驟 3 — 焦距：

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

因此焦點為 $(5, 0)$ 與 $(-5, 0)$。

步驟 4 — 離心率：

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1.667$

步驟 5 — 漸近線： 斜率 $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$，即 $y = \pm \tfrac{4}{3}x$。

所以這條雙曲線具有頂點 $(\pm 3, 0)$、焦點 $(\pm 5, 0)$、離心率 $5/3$，以及漸近線 $y = \pm\tfrac{4}{3}x$。

半正焦弦

一個有用的檢查點是焦點正上方的支高。將 $x = c$ 代入方程式可得 $y = \pm b^2/a$，此量稱為半正焦弦。在上例中其值為 $16/3 \approx 5.33$——圖形通過 $(5, \pm 16/3)$，這正是為何支到達焦點時已相當高。

實軸與共軛軸的差別

實軸（橫軸）連接兩頂點並通過焦點，其半長為 $a$。共軛軸與其垂直並通過中心，其半長為 $b$。與橢圓不同，並不要求 $a > b$——無論 $a$ 與 $b$ 何者較大，兩支都會穿過實軸。當 $a = b$ 時，漸近線為互相垂直的直線 $y = \pm(x - h) + k$，此雙曲線稱為等軸雙曲線（直角雙曲線），離心率恰為 $\sqrt{2}$。

常見問題（FAQ）

什麼是雙曲線？

雙曲線是與兩個定點（焦點）的距離之差為定值的所有點所成的集合。中心為 (h, k) 的水平雙曲線標準式為 (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1。它有向左右張開的兩支、實軸上的兩個頂點、位於頂點之外的兩個焦點，以及兩支會趨近卻永不相交的兩條漸近線。

如何求雙曲線的焦點？

對於 (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1，先計算焦距 c = √(a² + b²)。焦點便位於實軸上的 (h ± c, k)。例如 a = 3、b = 4、中心 (0, 0) 時，c = √(9 + 16) = √25 = 5，因此焦點為 (5, 0) 與 (−5, 0)。

雙曲線的漸近線是什麼？

漸近線是兩支伸向無窮遠時所趨近的兩條直線。水平雙曲線的漸近線通過中心 (h, k)，斜率為 ±b/a：y = k ± (b/a)(x − h)。畫出以中心為中心、寬 2a、高 2b 的「基準矩形」並延長其對角線，即可快速手繪出漸近線。

雙曲線的離心率代表什麼？

離心率為 e = c/a。由於 c = √(a² + b²) 恆大於 a，雙曲線的離心率恆有 e > 1。接近 1 時，兩支較窄且貼近實軸；數值愈大則兩支張得愈開。（相對地，橢圓為 0 ≤ e < 1，拋物線為 e = 1。）