最後更新：2026-07-01

這個計算機的作用

這個計算機會求出方陣的行列式：一個概括矩陣如何拉伸、壓縮或翻轉空間的單一數值。選擇 2×2 或 3×3 模式並輸入各元素，行列式會連同逐步推導一起更新。

矩陣 A 的行列式寫作 $\det A$ 或 $|A|$。

2×2 行列式

對 2×2 矩陣而言，行列式是主對角線乘積減去副對角線乘積：

$$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

範例（2×2）

以矩陣 [[1, 2], [3, 4]] 為例：

$\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

負號表示這個變換會翻轉方向，絕對值 2 表示它把面積放大為兩倍。

以餘因子展開求 3×3 行列式

對 3×3 矩陣，沿第一列展開。第一列的每個元素乘以刪去其所在列與行後所剩 2×2 子矩陣的行列式，並以 + − + 交替符號相加：

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}$$

其中子行列式為

$$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$$

範例（3×3）

以矩陣 [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]] 為例：

$M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54$

$M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18$

$M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36$

接著與第一列元素及交替符號結合：

$\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306$

薩呂斯法則（3×3 捷徑）

僅適用於 3×3 矩陣的另一種方法是薩呂斯法則：把前兩行複製到矩陣右側，將三條由左上到右下的對角線乘積相加，再減去三條由右上到左下的對角線乘積：

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

它與餘因子展開得到相同結果。薩呂斯法則用手算很快，但無法推廣到 3×3 以外，因此最先教授的是餘因子展開。

當行列式為零時

行列式為零代表矩陣是奇異矩陣：

• 其各列（與各行）線性相依。
• 變換把空間壓縮到一條直線或一個平面上，喪失一個維度。
• 矩陣沒有反矩陣。
• 係數矩陣 A 為奇異的線性方程組 Ax = b 無解或有無窮多解。

例如 [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] 的行列式為 0，因為每一列相對於上一列都呈等差變化，使各列線性相依。

幾何意義

行列式衡量的是帶號的縮放倍率：

• 2×2： 行列式等於兩個行向量所張成平行四邊形的帶號面積。行列式為 5 表示面積放大 5 倍；為 −5 表示面積放大 5 倍且方向翻轉。
• 3×3： 行列式等於三個行向量所張成平行六面體的帶號體積。
• 絕對值為 1 表示面積或體積保持不變（旋轉或鏡射）；為 0 表示圖形被壓平成零面積或零體積。

實用性質

• $\det(AB) = \det(A)\,\det(B)$ — 乘積的行列式等於各行列式之積。
• $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A)$ — 轉置不改變行列式。
• 交換兩列會使行列式變號。
• 將某一列乘以純量 $k$，行列式會乘以 $k$。
• 三角矩陣的行列式等於其對角元素之積。

常見問題（FAQ）

矩陣的行列式是什麼？

行列式是由方陣計算出的單一數值，概括了該矩陣所代表線性變換的重要性質。其絕對值表示變換將面積（2×2）或體積（3×3）放大的倍率，正負號則表示方向是否保持或翻轉。行列式為零代表該矩陣為奇異矩陣，沒有反矩陣。

行列式為零代表什麼？

行列式為零代表該矩陣是奇異矩陣：其各列（或各行）線性相依，因此變換會把空間壓縮到更低的維度。奇異矩陣沒有反矩陣，係數矩陣為奇異的線性方程組則無解或有無窮多解。

餘因子展開與薩呂斯法則有何不同？

兩者得到相同的 3×3 行列式。餘因子展開將第一列每個元素乘以其 2×2 子行列式並交替加減符號，可推廣到任意大小。薩呂斯法則是一種捷徑，把三條由左上到右下的對角線乘積相加，再減去三條由右上到左下的對角線乘積，僅適用於 3×3 矩陣。本計算機示範餘因子法，因為它能延伸到更大的矩陣。

行列式的幾何意義是什麼？

對 2×2 矩陣而言，行列式等於其兩個行向量所張成平行四邊形的帶號面積。對 3×3 矩陣而言，等於其三個行向量所張成平行六面體的帶號體積。負號表示變換會翻轉方向（鏡射），絕對值為一則表示面積或體積保持不變。