最後更新：2026-07-01

這個計算器的功能

這個計算器用來求 2×2 矩陣的反矩陣。輸入 A = [[a, b], [c, d]] 的四個元素，它會回傳行列式與 A⁻¹ 的四個元素，並附上逐步推導。當矩陣沒有反矩陣時，它會直接說明，而不是輸出沒有意義的數字。

矩陣 A 的反矩陣記為 $A^{-1}$，由關係式 $A A^{-1} = A^{-1} A = I$ 定義，其中 $I$ 是單位矩陣。

2×2 反矩陣公式

對於 2×2 矩陣，反矩陣由伴隨矩陣除以行列式得到：

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

矩陣部分有個好記的方法：把主對角線的兩個元素（$a$ 與 $d$）互換、副對角線的兩個元素（$b$ 與 $c$）變號，再把全部除以行列式 $ad - bc$。

先算行列式

行列式 $\det A = ad - bc$ 決定反矩陣是否存在。若不為零，上面的公式會給出唯一的反矩陣；若為零，這個矩陣就是奇異矩陣，沒有反矩陣——找不到任何矩陣與它相乘後得到單位矩陣。

範例

以矩陣 [[4, 3], [6, 3]] 為例。

先求行列式：

$\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6$

由於行列式不為零，反矩陣存在。套用公式：

$$A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6667 \end{pmatrix}$$

驗證答案

一個好習慣是把原矩陣乘上反矩陣，確認得到單位矩陣：

$$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 \\ 1 & -0.6667 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

乘積為單位矩陣，確認反矩陣正確。末位小數的微小差異僅來自顯示元素的四捨五入。

當反矩陣不存在時

2×2 矩陣在 $ad - bc = 0$ 時是奇異矩陣。從幾何上看，它的兩個行向量落在同一條直線上，因此變換會把平面壓扁成一條直線而遺失資訊，無法還原。例如 [[2, 4], [1, 2]] 的行列式為 $(2)(2) - (4)(1) = 0$，所以沒有反矩陣。

用反矩陣求解 Ax = b

反矩陣的主要用途之一是求解線性方程組。若 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 且 $A$ 可逆，將兩邊同乘 $A^{-1}$ 得到

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}.$

對於 2×2 方程組，只要知道反矩陣，這是快速求解的途徑。當係數矩陣為奇異時，方程組不是無解就是有無限多組解。

實用性質

• $(A^{-1})^{-1} = A$——取兩次反矩陣會回到原矩陣。
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$——乘積的反矩陣會反轉順序。
• $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$——反矩陣的行列式是原行列式的倒數。
• $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$——轉置與求反矩陣可交換。

常見問題（FAQ）

什麼是矩陣的反矩陣？

方陣 A 的反矩陣記為 A⁻¹，是滿足 A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I 的矩陣，其中 I 為單位矩陣。乘上反矩陣會抵消乘上 A 的效果，因此它相當於數字運算中的除法。

2×2 矩陣在什麼情況下沒有反矩陣？

當 2×2 矩陣的行列式 ad − bc 恰好等於零時，它就沒有反矩陣。這種矩陣稱為奇異矩陣：其列（或行）線性相關，公式會出現除以零的情形，也沒有任何矩陣能還原它所代表的變換。

2×2 矩陣的反矩陣公式是什麼？

對於 A = [[a, b], [c, d]]，反矩陣為 A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]。也就是說：將主對角線的兩個元素互換、副對角線的兩個元素變號，再把每個元素除以行列式 ad − bc。

我要如何確認算出的反矩陣是否正確？

把原矩陣乘上反矩陣。若乘積為 2×2 單位矩陣 [[1, 0], [0, 1]]，反矩陣就是正確的。顯示小數位四捨五入造成的微小誤差屬正常現象；只要行列式不為零，精確的乘積必為單位矩陣。