最後更新：2026-07-02

負二項分布

負二項分布是一種離散機率分布，用於描述在一連串獨立的白努利試驗中，達到固定成功次數之前所出現的失敗次數。每次試驗具有相同的成功機率 p，且彼此獨立。它出現在可靠度測試、銷售與行銷分析、流行病學，以及任何持續進行直到累積目標成功次數的過程中。

公式

本計算器採用成功前的失敗定義：X 為第 r 次成功之前觀察到的失敗次數 k，因此 X ≥ 0。機率質量函數（PMF）與累積分布函數（CDF）如下：

在此定義下，X 的平均值與變異數為：

另一種定義將 X 定為取得 r 次成功所需的總試驗次數（X ≥ r）。該變數等於 k + r，其平均值為 r/p。兩種定義描述的是同一個實驗。

計算範例

一名品管人員在三件產品通過檢驗後即接受該批貨。每件產品以機率 p = 0.40 獨立通過。在第三件通過之前，恰好有四件不合格的機率是多少？

代入 r = 3、p = 0.40、k = 4：

在第三件通過之前恰好有四件不合格的機率為約 12.44 %。不合格件數為四件或更少的累積機率為：

因此，不合格件數不超過四件的機率為 58.01 %。期望不合格件數為 μ = 3 × 0.60 / 0.40 = 4.5，變異數為 σ² = 3 × 0.60 / 0.40² = 11.25，標準差為 σ ≈ 3.35。

公式推導

若要使第 r 次成功之前恰好出現 k 次失敗：

1. 最後一次試驗必須是第 r 次成功，其發生機率為 p。
2. 在此之前的 k + r − 1 次試驗中，恰有 k 次失敗與 r − 1 次成功。排列方式的數目為 C(k+r−1, k)。
3. 這 k 次失敗各以機率 1−p 發生，r − 1 次成功各以機率 p 發生。連同最後的成功，各試驗結果貢獻 pʳ · (1−p)ᵏ。

將排列數目乘以結果機率，即得 C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ。CDF 為失敗次數從 0 到 k 的 PMF 累積和。

與其他分布的關係

負二項分布是幾何分布的推廣：令 r = 1 即計算第一次成功之前的失敗次數，且 P(X = k) = (1−p)ᵏ · p。等價地，負二項隨機變數是 r 個具有相同成功機率 p 的獨立幾何隨機變數之和。

它是二項分布的對偶。二項分布固定試驗次數並將成功視為隨機；負二項分布則固定成功次數並將失敗次數（或試驗次數）視為隨機。當成功次數 r 較大且 p 接近 1 時，此分布趨近於常態分布。當 r 不必為整數時，以伽瑪函數表示的同一公式定義了與之密切相關的波利亞分布，廣泛用於建模過度離散的計數資料。

實務應用

• 品質管制：建模在找到固定數量的合格品之前需檢驗多少不良品。
• 銷售與行銷：估計在達到設定的成交數之前失敗的接觸次數。
• 流行病學與生態學：對變異數超過平均值的過度離散計數資料進行擬合，效果優於卜瓦松模型。
• 可靠度工程：計算在冗餘系統累積足夠可用零件之前，故障零件的期望數量。