最後更新：2026-07-02

拋物線的焦點—準線定義

拋物線是與一個定點(焦點)和一條定直線(準線)等距的所有點所成的集合。這個單一的平衡條件決定了拋物線的形狀。曲線的轉折點——頂點——恰好位於焦點與準線的正中央。

對於鉛直方向(向上或向下)開口、頂點為 $(h, k)$ 的拋物線,標準式為:

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

其中 $p$ 是焦距——頂點到焦點的帶號距離。拋物線的所有特徵都由它決定:

$\text{焦點} = (h,\ k + p) \qquad \text{準線: } y = k - p \qquad \text{軸: } x = h$

本計算器根據頂點以及 $p$ 或最高次項係數 $a$,求出焦點、準線、對稱軸、焦距與正焦弦,並附上計算步驟。

焦距、焦點與準線

由於頂點位於焦點與準線的中間,兩者分別在頂點兩側、各距頂點 $|p|$。從頂點沿軸 $x = h$ 前進 $p$ 會到達焦點;往反方向前進 $p$ 則到達準線。

$\text{焦點} = (h,\ k + p) \qquad \text{準線: } y = k - p$

$p$ 的正負決定開口方向。$p > 0$ 時向上開口,焦點在頂點上方;$p < 0$ 時向下開口,焦點在下方。

正焦弦

正焦弦是通過焦點且垂直於對稱軸的弦,也就是在焦點高度量得的拋物線「寬度」。其長度為:

$L = |4p|$

正焦弦的兩端點為 $(h - 2p,\ k + p)$ 與 $(h + 2p,\ k + p)$,是在焦點高度快速取兩個額外點的方便做法。

係數式

許多教科書把鉛直拋物線寫成 $y = a(x - h)^2 + k$。這是同一條曲線,只是對 $y$ 求解。與標準式比較可看出最高次項係數 $a$ 與焦距 $p$ 的關係:

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

$|a|$ 越大,拋物線越窄,焦距越短;$|a|$ 越小,拋物線越寬,焦點離頂點越遠。由於 $a$ 與 $p$ 恆同號,任一個都能判斷開口方向。

範例演算

問題: 求 $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$ 的焦點、準線、對稱軸與正焦弦。

步驟 1 — 讀出頂點。 與 $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ 比較得 $h = 1$、$k = -2$,故頂點為 $(1, -2)$。

步驟 2 — 求焦距。 右邊的係數為 $4p = 8$,所以:

$p = \frac{8}{4} = 2$

步驟 3 — 求焦點。 從頂點沿軸向上移動 $p = 2$:

$\text{焦點} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

步驟 4 — 求準線。 往反方向移動 $p = 2$:

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

步驟 5 — 軸與正焦弦。

$\text{軸: } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

因此這條拋物線向上開口,焦點 $(1, 0)$、準線 $y = -4$、軸 $x = 1$、正焦弦長 $8$。以係數式表示,由於 $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$,同一條曲線可寫成 $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$。

看懂圖形

圖形將頂點 $V$、焦點 $F$ 與準線 $d$ 一併框住,讓定義的平衡一目了然:在拋物線上任取一點,它往下到準線的距離會等於它到焦點的距離。頂點恆位於 $F$ 與 $d$ 的中間,整個圖形對軸 $x = h$ 左右對稱。

說明與適用範圍

本計算器處理 $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ 形式、向上或向下開口的鉛直拋物線。向左或向右開口的水平拋物線 $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ 會交換 $x$ 與 $y$ 的角色:其軸為水平,焦點在 $(h + p, k)$,準線是鉛直線 $x = h - p$。焦距 $p$ 必須非零——在 $p = 0$ 時曲線退化,不存在拋物線。

常見問題（FAQ）

拋物線的焦點與準線是什麼？

拋物線是與一個定點（焦點）和一條定直線（準線）等距的所有點所成的集合。曲線上任一點到焦點的距離都恰好等於它到準線的距離。對於頂點 (h, k)、焦距 p 的鉛直拋物線，焦點在 (h, k + p)，準線是直線 y = k − p，而頂點永遠位於兩者正中央。

如何從 (x − h)² = 4p(y − k) 求焦點與準線？

直接由方程式讀出頂點 (h, k)，再利用係數 4p 求焦距 p。焦點為 (h, k + p)，準線為 y = k − p。例如 (x − 1)² = 8(y + 2) 的頂點為 (1, −2)，4p = 8 故 p = 2，焦點為 (1, 0)，準線為 y = −4。

焦距 p 與 y = a(x − h)² + k 中的係數 a 有何關係？

兩種形式描述同一條拋物線。將 (x − h)² = 4p(y − k) 對 y 求解得 y = (1/(4p))(x − h)² + k，故 a = 1/(4p)；反解焦距得 p = 1/(4a)。|a| 越大，拋物線越窄，焦距越短；|a| 越小，拋物線越寬，焦點離頂點越遠。

拋物線的開口朝哪個方向？

對於鉛直拋物線 (x − h)² = 4p(y − k)，方向由 p 的正負決定。p 為正時開口向上，焦點在頂點上方；p 為負時開口向下，焦點在下方。在係數式 y = a(x − h)² + k 中，a 的正負扮演相同角色，因為 a 與 p 恆同號。