最後更新：2026-07-02

部分分式分解

部分分式分解是把一個有理函數改寫成若干較簡單分式之和，這些分式的分母正是原分母的各個因式。對於分子次數低於分母的真分式，且分母含有兩個相異一次因式的情形，其分解為

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

寫成這種形式後，該分式在積分、反拉普拉斯轉換或級數展開時都容易許多。

遮蓋法

求出 $A$ 與 $B$ 最快的方法是遮蓋法（Heaviside 遮蓋法）。

步驟 1 — 求 A。 遮住分母中的因式 $(x - r_1)$，再把剩下的部分代入 $x = r_1$ 求值：

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

步驟 2 — 求 B。 遮住因式 $(x - r_2)$，把其餘部分代入 $x = r_2$ 求值：

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

遮蓋法為何成立

將分解的兩邊同乘 $(x - r_1)$：

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

此時令 $x = r_1$，第二項含有因式 $(x - r_1)$ 故為 0，於是直接剩下 $A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$。對 $(x - r_2)$ 作同樣論證即可分離出 $B$。

例題

分解 $\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$。

此處 $p = 3$、$q = -1$、$r_1 = 1$、$r_2 = -2$。

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

因此

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

驗算： 通分合併後，

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

一個實用的檢查

對於分子 $p\,x + q$，兩個係數恆滿足 $A + B = p$。比對合併後分子的最高次項，可迫使 $A$ 與 $B$ 之和等於分子中 $x$ 的係數，是快速核對答案的方法。

需要相異根

$A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ 這種形式假設有兩個不同的一次因式。

分母	正確形式
$(x - r_1)(x - r_2)$，相異	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$，重根	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

遮蓋法公式須除以 $r_1 - r_2$，當兩根相同時為 0；重因式需採用第二種形式，超出本計算器的範圍。

在積分中的應用

最大的用處在微積分。有理函數不易直接積分，但每個部分分式都能立即積分：

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

因此分解之後，

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

應用

• 微積分中有理函數的積分。
• 微分方程與控制理論中的反拉普拉斯轉換。
• 組合數學中的級數展開與母函數。
• 訊號處理中，將轉移函數拆解為一階項。

常見問題（FAQ）

什麼是部分分式分解？

部分分式分解是把一個有理函數改寫成若干較簡單分式之和，這些分式的分母正是原分母的各個因式。對於具有兩個相異一次因式的真分式 (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂))，其分解為 A/(x − r₁) + B/(x − r₂)。寫成這種形式後，該分式在積分、反拉普拉斯轉換或級數展開時都容易許多。

遮蓋法如何求出 A 與 B？

要求 A，先遮住分母中的因式 (x − r₁)，再把剩下的部分代入 x = r₁ 求值。由於第二項 A·(x − r₁)/(x − r₁) 只有在遮住自己的因式時才會保留，其餘各項在該值皆為 0，於是直接得到 A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂)。由對稱性可得 B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁)。此法無須建立並求解聯立方程組。

為什麼兩個根必須相異？

A/(x − r₁) + B/(x − r₂) 這種形式假設有兩個不同的一次因式。若 r₁ = r₂，分母便是重因式 (x − r₁)²，正確的分解應採用 A/(x − r₁) + B/(x − r₁)² 的形式。遮蓋法公式須除以 (r₁ − r₂)，當兩根相同時為 0，因此本計算器要求相異根。

在積分中如何運用？

有理函數不易直接積分，但每個部分分式 A/(x − r) 都能立即積成 A·ln|x − r| + C。因此，一旦把 (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) 分解為 A/(x − r₁) + B/(x − r₂)，其積分便是 A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C。這是微積分中積分有理函數的標準第一步。