巴斯卡三角形

列數 N	8
欄 k	3

列數 N

欄 k

最後更新：2026-07-02

定義

巴斯卡三角形是一個三角形的數字排列，其中每一項都是二項式係數。頂端為單一個 $1$ （第 $0$ 列），之後每一列都以 $1$ 開頭、以 $1$ 結尾。第 $n$ 列包含這些係數：

\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}

這些正是展開 $(a + b)^n$ 時出現的數，因此這個三角形正處於組合數學與代數的交會處。

建構方式

每個內部項都是正上方兩項之和。這就是巴斯卡法則：

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

由於兩側外緣的對角線永遠是 $1$ （不選任何一項或全選都只有一種方式，因此 $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ ），從頂端開始只用加法就能建立整個三角形：

範例演算

建立 $6$ 列，並讀取最後一列第 $k = 2$ 欄的值。當 $N = 6$ 時，最後一列的列索引為 $N - 1 = 5$ ：

1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1

$k = 2$ 處的值即二項式係數 $\binom{5}{2}$ ：

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

同樣的值也可以用上一列（ $1, 4, 6, 4, 1$ ）透過巴斯卡法則得到：

\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10

各列總和

第 $n$ 列各項之和永遠是 2 的次方：

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

這可由二項式定理令 $a = b = 1$ 直接得到： $(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ 。以上一列為例， $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ ，可快速檢查某一列是否抄寫正確。

規律

三角形中藏著好幾種著名的數列。最外側的對角線全是 $1$ ；下一條數出自然數 $1, 2, 3, 4, \ldots$ ；第三條給出三角形數 $1, 3, 6, 10, \ldots$ 。沿著較平緩的對角線相加會得到費氏數列。此外，每一列都對稱：

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

因此從左讀或從右讀都相同：選擇要納入哪 $k$ 項，等同於選擇要留下哪 $n - k$ 項。

常見問題（FAQ）

什麼是巴斯卡三角形？

巴斯卡三角形是一個三角形的數字排列，其中每一項都是二項式係數。頂端為單一個 1（第 0 列），之後每一列都以 1 開頭、以 1 結尾。第 n 列為 C(n, 0)、C(n, 1)、…、C(n, n)，也就是展開 (a + b)ⁿ 時出現的係數。例如第 4 列是 1、4、6、4、1，對應 (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴。

每一項是如何產生的？

每個內部項都是正上方兩項之和。這就是巴斯卡法則：C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k)。從頂端的 1 開始，只用加法就能建立整個三角形，完全不需要計算階乘。兩端永遠是 1，因為 C(n, 0) = C(n, n) = 1。

為什麼每一列的總和都是 2 的次方？

第 n 列各項之和為 2ⁿ。這可由二項式定理令 a = b = 1 得到：(1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ。因此第 0 列總和為 1、第 1 列為 2、第 2 列為 4、第 10 列為 1024。這是快速檢查某一列是否寫對的方法。

巴斯卡三角形中藏著哪些規律？

有好幾種。最外側的對角線全是 1；下一條對角線數出 1、2、3、4、…（自然數）；第三條對角線給出三角形數 1、3、6、10、…。沿著較平緩的對角線相加會得到費氏數列。此外，由於 C(n, k) = C(n, n − k)，每一列都左右對稱，從左讀或從右讀都相同。

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