最後更新：2026-07-01

極座標與直角座標

平面上的一個點可以用兩種等價的方式來表示。直角座標（笛卡兒座標）(x, y) 給出與原點之間的水平與垂直距離。極座標 (r, θ) 給出從原點起算的直線距離 r，以及由原點到該點的直線與 x 軸正向所成的角度 θ。這個轉換器可在兩種系統間雙向轉換，角度以度或弧度表示。

兩種描述指向同一個位置；哪一種較方便取決於問題。直角座標適合格線、螢幕與逐分量的計算，極座標則適合旋轉、圓周運動，以及任何以距離與方向來描述的對象。

從極座標到直角座標

從該點向 x 軸作垂線，會形成一個直角三角形。半徑 r 是斜邊，角度 θ 位於原點，兩條直角邊正好就是座標：

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

餘弦給出水平邊，正弦給出垂直邊，因此 x 與 y 的正負號會由 θ 所在的象限自動決定。

從直角座標到極座標

反向時則把三角形倒過來看。半徑是斜邊，由畢氏定理求得；角度則是該點的方向：

• r = √(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)

之所以用雙參數反正切 atan2(y, x) 而非 arctan(y/x)，是因為單純的比值 y/x 無法分辨一個點與其對稱點——兩者得到相同的商。atan2 將 x 與 y 分開處理，讀取它們的正負號，回傳位於正確象限的角度，涵蓋 −180° 到 180° 的完整範圍（弧度則為 −π 到 π）。它在 x = 0 時也有定義，不像 arctan(y/x) 會除以零。

範例計算

題目： 將直角座標的點 (3, 4) 轉換為極座標形式。

半徑是與原點的距離：

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

角度是該點的方向：

θ = atan2(4, 3) ≈ 53.13°

因此 (3, 4) 變成 (5, 53.13°)。反向轉換可驗證來回一致：x = 5·cos 53.13° ≈ 3，y = 5·sin 53.13° ≈ 4。

原點與角度範圍

原點是極座標唯一會產生歧義的點：當 r = 0 時 θ 無法確定，因為任何方向都落在同一點。離開原點後，atan2 回傳的角度落在 −180° 到 180° 之間。也有其他慣例——有些教材以 [0°, 360°) 表示角度——因此若偏好該範圍，將負角度加上 360°（或 2π）即可得到方向相同的正值。

選擇度或弧度

度與弧度量的是同樣的角度：一整圈是 360° 或 2π，180° = π。度常見於幾何、測量與導航；弧度則是微積分與物理的標準，因為它能讓三角函數的導數較為簡潔。依照你的資料選擇角度單位，與弧度之間的雙向換算由工具自動處理。

常見問題（FAQ）

如何把極座標轉成直角座標？

使用 x = r·cos θ 與 y = r·sin θ。半徑乘以角度的餘弦得到 x 座標，乘以正弦得到 y 座標。請確認計算機的角度模式與輸入角度的單位（度或弧度）一致。

如何把直角座標轉成極座標？

半徑是從原點起算的直線距離 r = √(x² + y²)，角度是該點的方向 θ = atan2(y, x)。雙參數反正切會讀取 x 與 y 的正負號，把 θ 放到正確的象限。

為什麼用 atan2 而不是 arctan(y/x)？

單純的 arctan(y/x) 只會回傳 −90° 到 90° 的角度，且遺失象限資訊，因為比值 y/x 對一個點與其對稱點相同。atan2(y, x) 將 x 與 y 分開處理，因此能回傳 −180° 到 180° 的完整範圍，且在 x = 0 時也有定義。

該用度還是弧度？

兩者描述的是同一個角度；180° 等於 π 弧度。度常見於幾何與導航，弧度則是微積分與物理的標準。依資料選擇單位即可，與弧度之間的換算由工具自動處理。