最後更新：2026-07-01

這個計算器的功能

這個計算器求解由三條一次方程式構成、含未知數 x、y、z 的聯立方程式：

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

依據十二個係數與常數，它以克拉瑪公式求出唯一解 (x, y, z)；當係數矩陣為奇異矩陣時，則顯示「無唯一解」。

三元方程組的克拉瑪公式

克拉瑪公式把每個未知數表示為行列式之比。首先計算係數矩陣的行列式：

$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)$$

當 D ≠ 0 時，唯一解為：

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$

每個分子行列式都是把係數矩陣的某一欄換成常數欄 (d₁, d₂, d₃) 後的行列式：

$$D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$

這直接來自線性代數：對於非奇異矩陣 A，Av = d 的解為 v = A⁻¹d，而克拉瑪公式正是把那個逆矩陣逐個行列式寫出來的形式。

幾何意義

每條方程式都代表三維空間中的一個平面。解聯立方程式相當於找出三個平面相交的點。

• D ≠ 0（唯一解）： 三個平面恰好交於一點，係數矩陣可逆。
• D = 0（無唯一解）： 平面並未交於單一點。它們可能共用一條直線（無限多解），或完全沒有共同點（無解）。此時克拉瑪公式無法給出單一答案。

範例解題

求解預設的聯立方程式：

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

步驟 1 — 係數矩陣的行列式：

$$D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big)$$ $$D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1$$

D ≠ 0，因此有唯一解。

步驟 2 — 求 x（把 x 欄換成常數）：

$$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2$$

步驟 3 — 求 y（把 y 欄換成常數）：

$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3$$

步驟 4 — 求 z（把 z 欄換成常數）：

$$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1$$

驗算：

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

當行列式為零時

若 D = 0，係數矩陣的三列線性相依——其中一條方程式是其他方程式的組合。有兩種結果：

• 無限多解： 常數與相依關係相容，因此平面共用一整條由共同點構成的直線。
• 無解： 常數與相依關係矛盾，因此平面從不交於一點。

克拉瑪公式僅在 D ≠ 0 時適用，所以一旦 D = 0，計算器便顯示「無唯一解」。若要精確判別退化情形，可用高斯消去法將增廣矩陣化簡，再比較係數矩陣與增廣矩陣的秩。

應用

三元一次方程組出現在代數與微積分先修課程中，也見於電路分析（三個迴路的克希何夫定律）、化學反應式配平，以及任何需要同時滿足三個一次條件的情境。克拉瑪公式以封閉形式直接給出解，因此很適合驗算小型方程組，或以符號方式表達解。

常見問題（FAQ）

行列式能告訴我什麼？

係數矩陣的行列式 D 決定方程組是否有唯一答案。當 D ≠ 0 時，三個平面恰好交於一點，因此 x、y、z 被唯一確定。當 D = 0 時，這些平面的排列方式使它們共用一整條直線，或完全沒有共同點，克拉瑪公式便無法回傳單一解。

克拉瑪公式與消去法有何不同？

高斯消去法與代入法透過逐步的列運算得到相同答案。克拉瑪公式則把每個未知數直接寫成行列式之比：x = Dₓ/D、y = D_y/D、z = D_z/D。當需要封閉形式的表達式，或想以符號方式求值時相當方便，不過對較大的方程組而言，消去法通常更快。

為什麼方程組顯示「無唯一解」？

只要 D = 0 就會出現這個訊息。此時三條方程式線性相依：至少有一條是其他方程式的組合。視常數項而定，方程組可能有無限多解（平面共用一條直線）或無解（平面從不交於共同點）。克拉瑪公式僅在 D ≠ 0 時適用，因此到此停止。

如何驗證求得的解？

把得到的 x、y、z 代回原本三條方程式。每一條左式都應等於其右式（d₁、d₂、d₃）。由於解是由精確的行列式之比計算而來，所顯示小數出現些微捨入屬正常現象；底層數值會以完整精度滿足方程式。