三角函數計算機（sin、cos、tan）

最後更新：2026-05-19

三角函數定義

三角函數（trigonometric functions）是描述直角三角形各邊比值與單位圓座標的一組函數，包含正弦（sin）、餘弦（cos）、正切（tan），以及它們的倒數函數餘割（csc）、正割（sec）、餘切（cot）。這些函數在幾何、物理、工程與訊號處理等領域均廣泛應用。

本計算機接受任意角度（度或弧度），同時輸出六種三角函數值。當角度為奇異點（如 90°，tan 與 sec 在數學上無定義）時，計算機自動偵測並以說明文字取代數值，而非顯示誤導性的極大值。

直角三角形定義

對直角三角形中的銳角 θ，三角函數定義如下：

函數	名稱	比值
sin(θ)	正弦	對邊 ÷ 斜邊
cos(θ)	餘弦	鄰邊 ÷ 斜邊
tan(θ)	正切	對邊 ÷ 鄰邊

三個倒數函數由此直接衍生：

• csc(θ) = 1/sin(θ) — 餘割
• sec(θ) = 1/cos(θ) — 正割
• cot(θ) = cos(θ)/sin(θ) — 餘切

單位圓

直角三角形的定義僅適用於 0° 到 90° 的銳角。單位圓將其推廣至任意角度。

單位圓是以原點為圓心、半徑為 1 的圓。從正 x 軸出發逆時針旋轉角度 θ，對應的圓上點座標為 (cos θ, sin θ)：

• cos θ 就是該點的 x 座標
• sin θ 就是該點的 y 座標
• tan θ 是從原點到該點連線的斜率：sin θ / cos θ

由於半徑為 1，對圓內直角三角形套用畢氏定理，可直接得到基本恆等式：

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

單位圓讓三角函數延伸到負角（順時針旋轉）與超過 360° 的角度——只需沿圓周繼續走即可。

計算範例：斜坡坡度

一條建築坡道在水平距離 8 m 中上升 1.6 m，坡角為何？各三角函數值為何？

步驟 1 — 求坡角： tan(θ) = 對邊/鄰邊 = 1.6/8 = 0.2，所以 θ = arctan(0.2) ≈ 11.31°

步驟 2 — 11.31° 的各函數值：

函數	數值	意義
sin(11.31°)	≈ 0.1961	每公尺坡面長度上升 0.196 m
cos(11.31°)	≈ 0.9806	坡面長度的 98.1% 為水平分量
tan(11.31°)	≈ 0.2000	上升/水平比（坡度）
csc(11.31°)	≈ 5.099	每公尺高差所需坡面長度
sec(11.31°)	≈ 1.020	每公尺水平距離所需坡面長度
cot(11.31°)	≈ 5.000	水平/上升比

在計算機中輸入 11.31 度即可驗證上述結果。

特殊角度值表

θ（度）	θ（弧度）	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	$\sqrt{3}/2$	$1/\sqrt{3}$
45°	π/4	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	1
60°	π/3	$\sqrt{3}/2$	1/2	$\sqrt{3}$
90°	π/2	1	0	無定義
180°	π	0	−1	0
270°	3π/2	−1	0	無定義

30°—45°—60° 的值通常需要熟記，其餘可由對稱性與週期性推導。

週期性與對稱性

三角函數以固定週期重複：

• sin 和 cos：週期 360°（2π 弧度）——每轉一圈，數值重複一次。
• tan 和 cot：週期 180°（π 弧度）——重複速度是前者的兩倍。

常用對稱公式（有助於心算）：

• sin(−θ) = −sin(θ)——正弦是奇函數。
• cos(−θ) = cos(θ)——餘弦是偶函數。
• sin(180° − θ) = sin(θ)——正弦對 90° 對稱。
• cos(180° − θ) = −cos(θ)——餘弦在 90° 處變號。

常見問題（FAQ）

度和弧度有什麼不同，該用哪一個？

度將圓周分為 360 等份，在日常幾何中最直觀。弧度以弧長衡量角度：1 弧度是弧長等於半徑的角度（約 57.3°），整圓為 2π ≈ 6.283 弧度。換算方式：度 × π/180 = 弧度；弧度 × 180/π = 度。JavaScript、Python、C 等程式語言的三角函數均以弧度為單位，撰寫程式時須特別注意。

tan(90°) 為什麼無定義？

正切的定義為 sin(θ)/cos(θ)。當 θ = 90° 時，cos(θ) = 0，因此除法沒有有限結果——tan 在 θ 從左側趨近 90° 時趨向正無窮大，從右側趨近時則來自負無窮大。這稱為垂直漸近線。同樣地，270°、450° 等（90° 的奇數倍）也會讓 tan 與 sec 無定義。

如何從單位圓讀出三角函數的值？

單位圓是以原點為圓心、半徑為 1 的圓。從正 x 軸出發逆時針旋轉角度 θ 所對應的圓上點座標為 (cos θ, sin θ)。x 座標直接給出餘弦，y 座標給出正弦。正切則是從原點到該點連線的斜率：sin θ / cos θ。sin²θ + cos²θ = 1 這個基本恆等式，就是對單位圓中的直角三角形應用畢氏定理所得。

csc、sec、cot 分別是什麼函數？

這三個是三角函數的倒數函數。餘割 csc(θ) = 1/sin θ、正割 sec(θ) = 1/cos θ、餘切 cot(θ) = cos θ/sin θ。高中數學課綱以 sin、cos、tan 為主，大學微積分與物理中 csc、sec、cot 則較為常見。記憶訣竅：csc 是 sin 的倒數（不是 cos），sec 是 cos 的倒數（不是 sin）——「餘（co-）」字代表補角函數，而非同名函數的倒數。