最後更新：2026-07-01

均勻分布計算器

連續均勻分布是最簡單的連續機率模型：區間 [a, b] 內的每個值都同樣可能發生，區間外則不會出現。它自然地描述了「介於這些界限之間的某個值，沒有偏好」的情形，例如捨入誤差、固定時間窗內的隨機到達時刻，或線段上的隨機一點。由兩個邊界與一個區間 [c, d]，本計算器會回傳機率密度、平均數、變異數、累積機率 P(X ≤ c) 以及區間機率 P(c ≤ X ≤ d)。

均勻分布

此分布由兩個參數完全決定：

• a — 最小值，X 可取的最小值
• b — 最大值，X 可取的最大值

由於機率均勻分配，機率密度函數在 [a, b] 上為定值，在其外為 0：

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[6pt] 0 & \text{其他} \end{cases}$$

密度在寬度為 (b − a) 的區間上積分必須等於 1，因此固定高度恰好為 1 / (b − a)。

累積分布

累積分布函數（CDF）給出 X 小於等於某值 x 的機率。對均勻分布而言，它是一條由 a 處的 0 上升到 b 處的 1 的直線：

$$F(x) = P(X \le x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b$$

在 a 以下為 0，在 b 以上為 1。圖表所繪的正是這條線性斜坡。

區間機率

X 落在 c 與 d 之間的機率，是區間 [c, d] 占總寬度的比例：

$$P(c \le X \le d) = F(d) - F(c) = \frac{d - c}{b - a}$$

當 c 或 d 落在 [a, b] 之外時，會在測量前先被限制到邊界，因此機率永不超過 1。

平均數與變異數

由於分布對稱，期望值位於中點：

$$\mu = \frac{a + b}{2}$$

變異數衡量離散程度。對連續均勻分布而言：

$$\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}$$

因此標準差為 (b − a) / √12 ≈ 0.2887 × (b − a)。將區間寬度加倍會使變異數變為四倍。

量	公式
密度 f(x)	1 / (b − a)
平均數 μ	(a + b) / 2
變異數 σ²	(b − a)² / 12
CDF F(x)	(x − a) / (b − a)

範例演算

一輛公車在你抵達後 a = 0 分鐘到 b = 15 分鐘之間、以均勻方式到站。等候時間落在 c = 2 分鐘到 d = 5 分鐘之間的機率是多少？

首先是密度：

$$f(x) = \frac{1}{15 - 0} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$$

區間機率：

$$P(2 \le X \le 5) = \frac{5 - 2}{15 - 0} = \frac{3}{15} = 0.2$$

因此等候時間落在該區間的機率為 20%。期望等候時間為：

$$\mu = \frac{0 + 15}{2} = 7.5 \text{ 分鐘}$$

變異數為：

$$\sigma^2 = \frac{(15 - 0)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18.75$$

由此得到標準差約為 4.33 分鐘。

密度不是機率

f(x) = 1 / (b − a) 這個值是密度而非機率，當區間很窄時可能大於 1：對 a = 0、b = 0.5 而言密度為 2。這是正常的：密度要乘上寬度後才會成為機率。任何單一確切值的機率皆為 0，因此 P(c ≤ X ≤ d) 等於 P(c < X < d)；端點本身沒有貢獻。

常見問題（FAQ）

什麼是連續均勻分布？

連續均勻分布對區間 [a, b] 內的每個值賦予相同機率，區間外的機率為零。由於密度平坦，寬度相同的兩個子區間發生機會相等。它可用來描述在已知範圍內任何位置皆同樣可能的情形，例如測量的捨入誤差，或固定時間窗內的隨機到達時刻。

這裡的 PDF 與 CDF 有什麼差別？

機率密度函數（PDF）為定值 f(x) = 1 / (b − a)，代表的是密度而非機率。累積分布函數（CDF）F(x) = (x − a) / (b − a) 是一條由 a 處的 0 上升到 b 處的 1 的直線，給出 X 小於等於 x 的機率。區間機率 P(c ≤ X ≤ d) 等於 F(d) − F(c)。

均勻分布的平均數與變異數如何計算？

因分布對稱，平均數為區間的中點 μ = (a + b) / 2。變異數為 σ² = (b − a)² / 12，因此標準差為 (b − a) / √12 ≈ 0.2887 × (b − a)。加寬區間會使變異數以平方倍增加。

取到某個確切單一值的機率是多少？

在包含均勻分布在內的任何連續分布中，取到某個確切單一值的機率都是零，只有區間才具有非零機率。因此 P(c ≤ X ≤ d) 採用區間寬度計算；端點 c 與 d 本身沒有貢獻，所以 P(c ≤ X ≤ d) 等於 P(c < X < d)。