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產生日期: 2026年7月20日 下午09:34

向量投影計算機

輸入

a — x 分量3
a — y 分量4
a — z 分量0
b — x 分量1
b — y 分量0
b — z 分量0

由 OneCalc 產生 · https://onecalc.app/zh-TW/math/vector-projection

數學

向量投影計算機

將向量 a 投影到向量 b：計算純量投影、向量投影的各分量，以及垂直分量（拒投影）。可用於二維（z = 0）與三維，並提供逐步推導。

輸入

向量 a（被投影者）

向量 b（方向）

結果

輸入數值即可顯示計算結果。

詳細資料

逐步推導

\begin{aligned} \operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_x &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_x \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_y &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_y \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_z &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_z \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_x &= a_x - p_x \\ &= 3 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_y &= a_y - p_y \\ &= 4 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_z &= a_z - p_z \\ &= 0 - (?) \\ &= ? \end{aligned}

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向量投影

把向量 a 投影到向量 b 上，回答的是一個簡單的問題：a 有多少分量指向 b 的方向？答案有兩種形式——一個數值（純量投影）與一個完整的向量（向量投影）。再加上拒投影，就能把 a 分解為沿 b 的部分與垂直於 b 的部分。

純量投影

a 對 b 的純量投影，是 a 沿 b 方向量得的帶號長度：

comp⁡ba=a⋅b∣b∣\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

當 a 與 b 同向傾斜時為正，垂直時為零，反向傾斜時為負。

向量投影

向量投影是一個沿 b 方向、長度等於純量投影絕對值的向量：

proj⁡ba=a⋅bb⋅b b=a⋅b∣b∣2 b\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

係數 a⋅bb⋅b\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} 會縮放 b，使結果恰好落在 a 末端的「正下方」。

拒投影

拒投影是把投影移除後 a 剩下的部分：

rej⁡ba=a−proj⁡ba\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}

它垂直於 b，因此投影與拒投影互相正交，相加後可還原為原向量：a=proj⁡ba+rej⁡ba\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}。

範例

設 a = (3, 4, 0)、b = (1, 0, 0)。

先算內積：

a⋅b=(3)(1)+(4)(0)+(0)(0)=3,b⋅b=12+02+02=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (4)(0) + (0)(0) = 3, \qquad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

b 的模長為 ∣b∣=1=1|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1，所以純量投影為：

comp⁡ba=31=3\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{3}{1} = 3

向量投影使用係數 31=3\frac{3}{1} = 3：

proj⁡ba=3 (1,0,0)=(3,0,0)\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 3\,(1, 0, 0) = (3, 0, 0)

拒投影則是垂直的剩餘部分：

rej⁡ba=(3,4,0)−(3,0,0)=(0,4,0)\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = (3, 4, 0) - (3, 0, 0) = (0, 4, 0)

不出所料，(3, 0, 0) 與 (0, 4, 0) 互相垂直，相加後還原為 (3, 4, 0)。

二維與三維

相同的公式適用於任意維度。處理平面（二維）問題時，將 z 分量保持為 0，讀取 x 與 y 的結果即可，z 輸出仍為 0。

與「功」的關係

在物理中，定力所做的功是力與位移的內積：

W=F⋅d=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta

這等於力的大小乘以位移沿力方向的純量投影。只有沿運動方向的力分量才做功；垂直分量（拒投影）毫無貢獻。同樣的概念可將斜面上物體的重力分解為沿斜面下滑的分量與壓向表面的分量。

應用

  • 格拉姆–施密特正交化：將每個向量減去其在先前向量上的投影，以建立正交基底。
  • 最小平方擬合：子空間中某點的最佳近似，就是它在該子空間上的投影。
  • 電腦圖學：將光線或視線方向投影到表面上，可決定明暗與陰影長度。
  • 力的分解：如斜面問題，把力分解為沿某方向與橫越該方向的分量。

常見問題（FAQ）

純量投影與向量投影有何不同？

純量投影 comp_b(a) = (a · b) / |b| 是一個帶號的單一數值：表示 a 沿 b 方向延伸了多少。向量投影 proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b 則是一個完整的向量——它沿 b 方向，長度等於純量投影的絕對值。簡言之，純量投影回答「多少」，向量投影回答「多少且朝哪個方向」。

如何將一個向量投影到另一個向量上？

先計算內積 a · b 與模長平方 b · b = |b|²。純量投影為 (a · b) / |b|。向量投影為係數 (a · b) / (b · b) 乘以 b。以 a = (3, 4)、b = (1, 0) 為例：a · b = 3、|b| = 1，故純量投影為 3，向量投影為 (3, 0)。

什麼是拒投影（垂直分量）？

拒投影是 a 扣除其在 b 上的投影後所剩的部分 a − proj_b(a)。它垂直於 b，因此投影與拒投影把 a 分解為兩個正交的部分，相加可還原為 a。此分解是格拉姆–施密特正交化的基礎，也用於將力分解為沿著與橫越某表面的分量。

投影在物理中用在哪裡？

定力所做的功為 W = F · d = |F| |d| cos θ，即力的大小乘以位移沿力方向的純量投影。只有沿運動方向的力分量才做功；垂直分量（拒投影）不做功。投影也可將斜面上物體的重力分解為沿斜面與垂直於表面的兩個分量。

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