Zuletzt aktualisiert: 2026-06-05

Was ist eine Halbkugel?

Eine Halbkugel entsteht, wenn eine Kugel entlang eines Großkreises in zwei gleiche Hälften geteilt wird. Sie besteht aus einer ebenen Kreisfläche (Grundfläche) und einer gewölbten Außenfläche (Kuppe). Der Radius der Grundfläche entspricht dem Radius der zugehörigen Kugel. Typische Beispiele sind Suppenschüsseln, Planetariumskuppeln oder Iglu-Konstruktionen.

Formeln

Für eine Halbkugel mit Radius r gelten folgende Formeln:

Größe	Formel	Hinweis
Volumen	$V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$	Hälfte des Kugelvolumens
Mantelfläche	$A_c = 2\pi r^2$	Kuppe, ohne Grundfläche
Grundfläche	$A_b = \pi r^2$	Ebene Kreisfläche
Gesamtoberfläche	$A = 3\pi r^2$	Kuppe + Grundfläche

Herleitung

Volumen

Das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ beträgt $\dfrac{4}{3}\pi r^3$. Die Halbkugel ist genau die Hälfte davon:

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

Alternativ folgt das Ergebnis aus der Integration kreisförmiger Querschnitte mit dem Radius $\sqrt{r^2 - h^2}$ von $h = 0$ bis $h = r$:

$V = \int_0^r \pi(r^2 - h^2)\,dh = \pi\!\left[r^2 h - \frac{h^3}{3}\right]_0^r = \frac{2}{3}\pi r^3$

Mantelfläche

Die Oberfläche der vollständigen Kugel beträgt $4\pi r^2$. Die Kuppe nimmt die Hälfte davon ein:

$A_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

Grundfläche und Gesamtoberfläche

Die Grundfläche ist ein Kreis mit Radius $r$:

$A_b = \pi r^2$

Die Gesamtoberfläche setzt sich aus Kuppe und Grundfläche zusammen:

$A = A_c + A_b = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

Halbkugel im Vergleich zur Kugel

Größe	Halbkugel	Kugel	Verhältnis
Volumen	$\dfrac{2}{3}\pi r^3$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$	1/2
Kuppe	$2\pi r^2$	$4\pi r^2$	1/2
Gesamtoberfläche	$3\pi r^2$	$4\pi r^2$	3/4

Volumen und Mantelfläche betragen jeweils die Hälfte der entsprechenden Kugelwerte. Die Gesamtoberfläche ist jedoch drei Viertel der Kugeloberfläche — nicht die Hälfte. Die ebene Grundfläche ($\pi r^2$) wird hinzugezählt und verfälscht eine einfache Halbierung. Dieser Punkt ist in der Praxis eine häufige Fehlerquelle.

Rechenbeispiel

Eine halbkugelförmige Schüssel mit einem Radius von 10 cm (0,10 m):

Volumen: $V = \frac{2}{3}\pi (0{,}10)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0{,}001 \approx 0{,}002094 \text{ m}^3 = 2{.}094 \text{ cm}^3$

Mantelfläche: $A_c = 2\pi (0{,}10)^2 = 2\pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0628 \text{ m}^2 = 628{,}3 \text{ cm}^2$

Grundfläche: $A_b = \pi (0{,}10)^2 = \pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0314 \text{ m}^2 = 314{,}2 \text{ cm}^2$

Gesamtoberfläche: $A = 3\pi (0{,}10)^2 = 3\pi \times 0{,}01 \approx 0{,}0942 \text{ m}^2 = 942{,}5 \text{ cm}^2$

Skalierungsverhalten

Volumen wächst mit der dritten Potenz, Oberfläche mit der zweiten Potenz des Radius:

Radiusfaktor	Volumenfaktor	Flächenfaktor
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

Dieses Skalierungsverhalten ist besonders bei der Auslegung von Behältern und Kuppelkonstruktionen relevant, da eine geringe Vergrößerung des Radius eine überproportional große Volumenerhöhung bewirkt.

Verwandte Berechnungen: Kugel (Kugel-Rechner: Volumen und Oberfläche), Kegel (Kegel-Rechner: Volumen und Oberfläche)

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für das Volumen einer Halbkugel?

Das Volumen einer Halbkugel beträgt V = (2/3)πr³ — genau die Hälfte des Kugelvolumens (4/3)πr³. Für r = 5 cm: r³ = (0,05 m)³ = 0,000125 m³, also V = (2/3) × π × 0,000125 ≈ 0,000262 m³ ≈ 261,8 cm³.

Gehört die Grundfläche zur Gesamtoberfläche einer Halbkugel?

Ja. Gesamtoberfläche = Mantelfläche (2πr²) + Grundfläche (πr²) = 3πr². Für nur die Kuppenfläche verwendet man 2πr². Für r = 5 cm: Mantelfläche ≈ 157,1 cm², Grundfläche ≈ 78,5 cm², Gesamtoberfläche ≈ 235,6 cm².

Wie verhält sich eine Halbkugel gegenüber einer vollständigen Kugel?

Eine Halbkugel hat die Hälfte des Volumens einer Kugel gleichen Radius (V = (2/3)πr³ gegenüber (4/3)πr³). Die Mantelfläche (2πr²) ist ebenfalls halb so groß wie die Kugeloberfläche (4πr²). Die Gesamtoberfläche (3πr²) beträgt jedoch drei Viertel der Kugeloberfläche, da die ebene Grundfläche πr² hinzukommt.

Wie berechnet man nur die gewölbte Fläche einer Halbkugel?

Die Mantelfläche (Kuppenfläche) lautet A_c = 2πr², ohne die Grundfläche. Für r = 5 cm: A_c = 2 × π × 25 ≈ 157,1 cm². Addiert man die Grundfläche (πr² ≈ 78,5 cm²), ergibt sich die Gesamtoberfläche 3πr² ≈ 235,6 cm².