最後更新：2026-07-01

定義

二項式定理將兩項之和的次方展開成若干項之和：

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$

每一項都把二項式係數 $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ 與 $(n-k)$ 次方的 $a$ 及 $k$ 次方的 $b$ 相乘。當 $k$ 由 $0$ 走到 $n$，$a$ 的次方由 $n$ 降到 $0$，$b$ 的次方由 $0$ 升到 $n$，因此兩個指數之和恆為 $n$。

一般項

編號 $k$（自 $0$ 起算）的單一項為：

$$T_{k+1} = \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$

這正是項次欄位所計算的值。取 $k = 0$ 得首項 $a^n$，取 $k = n$ 得末項 $b^n$。當只需某個特定係數，或含指定次方的項時，逐項讀取就很方便，不必寫出整個展開式。

範例演算

以 $(2 + 3)^4$ 讀取 $k = 2$ 的項。先求係數：

$$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = 6$$

再求整項 $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$：

$$\begin{aligned} T_3 &= \binom{4}{2}\, 2^{\,4-2}\, 3^{\,2} \\ &= 6 \times 4 \times 9 \\ &= 216 \end{aligned}$$

完整展開為 $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$，與 $5^4$ 相符，可作驗算。

係數與巴斯卡三角形

係數 $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ 構成巴斯卡三角形的第 $n$ 列（頂點算作第 $0$ 列）。它們滿足遞迴關係：

$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$

因此每個元素都是正上方兩元素之和。$(a + b)^3$ 的列為 $1, 3, 3, 1$；$(a + b)^4$ 的列為 $1, 4, 6, 4, 1$。上方的係數圖直接描繪這一列。

對稱性

二項式係數具有對稱性：

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

因此一列由前往後讀與由後往前讀相同。這對應到：從哪 $k$ 個因式取 $b$，等同於從哪 $n-k$ 個因式取 $a$。

係數總和

令 $a = b = 1$，定理化為一個簡潔的恆等式：

$$2^n = (1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$$

因此任一列的係數總和皆為 2 的次方：$n = 3$ 的列和為 $8$，$n = 6$ 的列和為 $64$。令 $a = 1, b = -1$ 則得交錯和，對每個 $n \geq 1$ 皆為 $0$。

常見應用

• 代數：展開多項式並化簡取次方的式子。
• 機率：係數支撐二項分布，其中 $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ 是 $n$ 次試驗中 $k$ 次成功的機率。
• 近似：對於較小的 $x$，保留 $(1 + x)^n$ 的前兩項可得估計值 $1 + nx$。
• 組合學：如列和 $2^n$ 與交錯和 $0$ 等恆等式，均由定理直接導出。

實用須知

需為整數指數。 上式假設 $n$ 為整數。分數或負指數須用廣義二項級數，那是一個無窮和，屬於另一主題。

首項與末項。 $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$，故任何展開式的首係數與末係數皆為 $1$。

若只需係數本身，也就是不含 $a$、$b$ 次方的「$n$ 取 $k$」值，可使用組合計算機 — C(n, r)。

常見問題（FAQ）

二項式定理是什麼？

二項式定理給出和的次方的展開式：(a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ，k 由 0 到 n。每一項都是二項式係數 C(n, k) 乘以 a 的 (n − k) 次方與 b 的 k 次方。例如 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，其係數為 1、3、3、1。

展開式的一般項為何？

第 (k + 1) 項為 Tₖ₊₁ = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ，自 k = 0 起算。因此第一項（k = 0）為 aⁿ，最後一項（k = n）為 bⁿ。指定項次即可讀出單一項而不必寫出整個展開式，在尋找特定係數或含指定次方的項時相當方便。

這些係數與巴斯卡三角形有何關係？

係數 C(n, 0)、C(n, 1)、…、C(n, n) 正好是巴斯卡三角形的第 n 列（頂點算作第 0 列）。每個元素等於其正上方兩個元素之和，對應恆等式 C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k)。係數圖直接描繪這一列。