最後更新：2026-06-23

卡方適合度檢定

卡方適合度檢定只問一個問題：一組觀察到的類別次數，是否與某個假設所預測的次數相符？它是將單一類別樣本與理論分布相互比較的標準工具，可用於檢驗骰子是否公正、遺傳雜交是否遵循 9:3:3:1 的比例，或一袋糖果中各種顏色是否依標示的比例出現。輸入各類別中實際觀察到的次數，以及虛無假設下所預期的次數，檢定即回傳一個統計量、其自由度與一個 p 值。

統計量

此檢定以皮爾森統計量概括觀察值與期望值之間的落差

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

其中 $O_i$ 為類別 $i$ 的觀察次數，$E_i$ 為期望次數，$k$ 為類別數。各項衡量某一類別偏離其預測值的程度。偏差取平方，使盈餘與不足皆計為不利於該假設的證據而不致互相抵消，並使絕對落差越大者所佔權重越高。除以 $E_i$ 可使每項平方偏差標準化：在僅預期 5 個次數時，差 10 個次數是嚴重的不符，但在預期 5000 個次數時則微不足道，而除以期望次數可將每個類別置於可相互比較的尺度上。於各類別加總，得出一個隨資料偏離假設而增大的單一數值。當觀察次數恰等於期望次數時，每一項皆為零，故 χ² 等於 0。

自由度與 p 值

此統計量與一個卡方分布相互比較，該分布的形狀由其自由度決定。對於單純的適合度檢定，

$\text{df} = k - 1$

之所以耗去一個自由度，是因為各類別次數須加總為一已知總和：一旦前 k − 1 個次數確定，最後一個即隨之確定，故僅有其中 k − 1 個可自由變動。（若期望分布本身是利用額外參數從資料估計而得，則每估計一個參數須再減去一個自由度。）

p 值是上尾機率，即在虛無假設成立時，出現不小於所觀察值之統計量的機率。適合度檢定本質上是單側的上尾檢定：只有 χ² 的大值才顯示適合度不佳，小值則表示資料貼近預測。將 p 值與顯著水準 $\alpha$（常取百分之五）相比較。當 p 小於 $\alpha$ 時，此落差大於抽樣雜訊所能輕易解釋的程度，即可拒絕「資料服從期望分布」的假設。當 p 不小於 $\alpha$ 時，資料與假設相符，但這與證明假設為真並不相同。

計算範例

假設某店家預期其三條結帳通道在 100 名顧客中以 40:40:20 的比例分流，某日下午則記錄到 50、30 與 20 名顧客。期望次數為 40、40 與 20。於是

由於有三個類別，此檢定具兩個自由度。自由度為二、卡方統計量為五時的上尾 p 值約為

$0.082 \approx p$

由於 p 大於 0.05，所觀察到的分流在 5% 水準下與期望的 40:40:20 分布相符：前兩條通道之間看似的不均衡，落在尋常的抽樣變異範圍內。

假設

卡方近似仰賴若干條件。期望次數應相當大，一項常見的經驗法則要求每個期望次數至少為 5；當有數個較小時，宜合併稀疏的類別或改用精確檢定。觀察值須彼此獨立，每個單位恰落入一個類別。此檢定針對原始頻次運作，而非百分比或比例：若假設以比例表述，須先將各比例乘以總樣本數以求得期望次數，再進行檢定，並確認期望次數的總和與觀察次數的總和相同。

關於比較兩組平均數而非類別頻次，可參見 雙樣本 t 檢定計算機（Welch）；關於將 z 統計量轉換為尾端機率，可參見 Z 分數轉 P 值計算機。