最後更新：2026-07-01

指數成長與衰減

當一個量的變化速率與它當下的大小成正比時，這個量便呈指數成長或衰減。它越大，變化得越快。這種模式可描述族群、複利餘額、放射性物質、藥物濃度，以及流行病初期的擴散。它們背後共同的模型是：

N = N₀ (1 ± r)^t

其中 N₀ 是初始值，r 是每期比率，t 是經過時間，N 是該時間之後的量。加號代表成長，減號代表衰減。

成長與衰減

成長與衰減唯一的差別在於比率的符號。在成長中，乘數 (1 + r) 大於 1，因此每一期量都被放大，曲線越升越陡。在衰減中，乘數 (1 − r) 介於 0 與 1 之間，因此每一期量都被縮小，曲線朝零下降，但永遠不會真正到達零。

行為	乘數	隨時間的效果
成長	1 + r > 1	每隔固定時間翻倍
衰減	0 < 1 − r < 1	每隔固定時間減半

離散與連續

套用比率常見有兩種方式。

離散模型 N₀ (1 ± r)^t 每一整期套用比率一次，適合以階段方式變化的情形：每年計息一次、每一代清點的族群、每月更新的餘額。

連續模型 N₀ · e^(kt) 在每一瞬間套用比率，其中 k 是連續比率，e ≈ 2.71828，適合持續平滑變化的過程：放射性衰變、連續複利、一級化學反應。在相同名目比率下，連續模型成長略快，因為每一筆微小增量會立即開始複利。

倍增時間與半衰期

由於比率是固定的百分比，成長中的量無論目前多大，翻倍所需的時間都相同；衰減中的量減半所需的時間也相同。這兩個常數就是倍增時間與半衰期。

對離散模型而言：

• 倍增時間 = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• 半衰期 = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

對連續模型而言，兩者都化簡為 ln 2 ÷ k，因為比率的大小在兩個方向上相同。

一個實用的捷徑是「70 法則」：將 70 除以百分比比率即可估算倍增時間。在每年 5% 之下，翻倍約需 70 ÷ 5 = 14 年，接近精確的 14.21 年。

範例

問題： 一座 1,000 人的城鎮每年成長 5%。10 年後有多少人？城鎮翻倍需要多久？

使用離散成長模型：

N = 1000 × (1 + 0.05)^10 = 1000 × 1.62889 ≈ 1,629 人

倍增時間 = ln 2 ÷ ln(1.05) ≈ 0.6931 ÷ 0.04879 ≈ 14.21 年

因此十年後人口約為 1,629 人，依此速率將在十四年多一點時達到 2,000 人。

衰減範例

問題： 一劑 200 mg 的藥物以每小時 0.231 的比率連續衰減。6 小時後剩多少？其半衰期是多少？

N = 200 × e^(−0.231 × 6) = 200 × e^(−1.386) ≈ 50 mg

半衰期 = ln 2 ÷ 0.231 ≈ 3 小時

6 小時後的 50 mg 恰好是劑量的四分之一，這很合理：6 小時等於兩個半衰期，因此量減半了兩次。

與複利的關係

指數成長是複利計算背後的數學引擎。以 r 作為每期利率的離散模型與複利公式相同，而連續模型對應於連續複利。本工具保持一般化的表述，因此同樣適用於生物學、物理學與金融。

常見問題（FAQ）

指數成長與衰減有什麼差別？

兩者都遵循同一公式 N = N₀(1 ± r)^t。成長使用正比率（+r），量會相乘並無上限地增加，例如族群、複利餘額、疾病傳播。衰減使用負比率（−r），量每期乘上小於 1 的係數而趨近於零，例如放射性物質、藥物濃度、折舊。圖形在成長時為上升曲線，衰減時為下降曲線。

我該使用離散還是連續模型？

當變化以明確的步驟發生時使用離散模型 N₀(1 ± r)^t，例如每年一次的利息、每代的族群數。當變化在每一瞬間平滑發生時使用連續模型 N₀·e^(kt)，例如放射性衰變、連續複利、化學反應。在相同名目比率下，連續模型成長略快，因為每一筆微小增量會立即開始複利。

倍增時間代表什麼？

倍增時間是成長中的量無論目前大小為何，增為兩倍所需的固定間隔。由於指數成長的百分比比率固定，每次倍增所需時間相同。快速估算可用「70 法則」：將 70 除以百分比成長率，即可在相同時間單位下估計倍增時間。

什麼是半衰期？

半衰期是衰減中的量降為其值一半所需的固定時間。經過一個半衰期後剩一半，兩個後剩四分之一，三個後剩八分之一。它是倍增時間在衰減上的對應概念，廣泛用於放射性同位素，以及藥物在體內維持作用的時間。