最後更新：2026-07-02

這個工具的用途

這個工具對三個組別執行單因子變異數分析（ANOVA）。貼上每一組的原始數值，它便會提供完整的變異數分析表——組間與組內的平方和、其自由度與均方——以及 F 統計量、其 p 值，還有以淺白語言呈現的顯著性判定。

單因子變異數分析回答什麼

三個組別產生三個平均，而這些平均即使來自同一個過程也幾乎不會相同：光是隨機抽樣就會造成一定程度的離散。單因子變異數分析提出一個明確的問題：若三個母體平均真的相等，各樣本平均之間出現如此大的差異究竟有多令人意外？ 答案就是 p 值。

其核心想法是比較兩種變異來源。合併資料中的離散有一部分來自各組落在不同水準，其餘則來自各觀測值圍繞自身組別平均的自然離散。若前一種來源相對於後者較大，各組平均大概並不相等。

平方和

變異數分析將總變異拆成組間部分與組內部分。

組間平方和衡量各組平均離總平均 $\bar{x}$（所有合併觀測值的平均）有多遠，並依組別大小 $n_j$ 加權：

組內平方和衡量各觀測值 $x_{ij}$ 離自身組別平均 $\bar{x}_j$ 有多遠：

自由度與均方

每個平方和除以其自由度即成為均方。設有 $k$ 個組別、共 $N$ 個觀測值，則：

組內均方 $MS_W$ 是共同誤差變異數的合併估計值。組間均方 $MS_B$ 僅在各組平均相等時估計同一個變異數；當它們不同時，其值會被放大。

F 統計量

檢定統計量是兩個均方的比值：

當所有母體平均相等時，兩個均方都在估計同一個變異數，$F$ 會接近 1。當各組平均確實不同時，分子變大，$F$ 便升到 1 以上。p 值是自由度為 $(df_B, df_W)$ 的 F 分布中，超過所觀測 $F$ 的上尾面積：

計算範例

假設三種教學法各以五名學生進行測試：

• 第 1 組： 85, 90, 88, 92, 87（平均 88.4）
• 第 2 組： 78, 82, 80, 85, 79（平均 80.8）
• 第 3 組： 91, 95, 93, 96, 94（平均 93.8）

總平均為 $\bar{x} \approx 87.67$，其中 $N = 15$、$k = 3$。

$p \approx 0.00001$ 遠低於 0.05，這是有力證據，顯示至少有一種教學法產生不同的平均分數。

顯著結果之後

顯著的變異數分析只說明至少有一組平均不同，卻不會指出是哪一組。要找出差異所在，可接續執行事後程序，如 Tukey 的 HSD，或加上多重檢定校正的 雙樣本 t 檢定計算機（Welch） 成對比較。同時建議搭配效應量，例如 eta 平方，以描述組別差異解釋了總變異的多少比例。

假設

單因子變異數分析建立在幾項條件上：

• 獨立性——三個組別彼此獨立，且每一組內部的觀測值也彼此獨立。
• 近似常態——各組的數值大致服從常態分布，或樣本夠大以致中央極限定理成立。
• 變異數同質性——各組的離散程度相近。當變異數差異明顯時，經 Welch 校正的變異數分析比此處使用的古典形式更為可靠。

當只有兩組時，古典變異數分析恰好化為平均的比較；兩組情形的直接對應是 雙樣本 t 檢定計算機（Welch）。若想先檢視單一組內部的離散，變異數與標準差計算機 與 描述統計計算機 會彙整其中心與離散。