最後更新：2026-06-23

貝氏定理

貝氏定理是在新證據出現時更新機率的法則。它取一個關於事件可能性的起始判斷，結合證據偏向某一方的強度，再回傳修正後的判斷。本計算機將其套用於最常見的情境——診斷檢驗——把病況的盛行率與檢驗的準確度，轉換為陽性結果為真的機率。

條件機率

條件機率 $P(A|B)$ 是在已觀察到 $B$ 的條件下 $A$ 為真的機率。它與單純的機率 $P(A)$ 不同，因為觀察到 $B$ 帶有資訊。一次醫學檢驗呈陽性並不會使疾病成為定論，而是依檢驗本身的優劣與疾病原本的常見程度，將機率向上修正一定幅度。相關的 條件機率與貝氏定理計算機 計算機則在已知 $P(A \cap B)$ 與 $P(B)$ 時直接運算。

公式

貝氏定理連結兩個方向的條件機率：

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

各項皆有名稱：

• 事前機率 $P(A)$ 是證據出現前 $A$ 的機率；以檢驗而言，即病況的盛行率。
• 概似度 $P(B|A)$ 是 $A$ 成立時證據出現的機率，即檢驗的敏感度或真陽性率。
• 邊際機率（或稱證據機率）$P(B)$ 是在 $A$ 為真與為偽的所有情形下，觀察到證據的整體機率。其展開式為 $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$，其中 $P(B|\lnot A)$ 為偽陽性率。
• 事後機率 $P(A|B)$ 即結果：證據出現後 $A$ 的機率。

基準率謬誤

判讀檢驗結果時最常見的錯誤，是將檢驗的準確度與陽性為真的機率混為一談。兩者是不同的問題，而當病況罕見時，答案會截然不同。敏感度 90%、特異度 95% 的檢驗聽來可靠，但若每 100 人中僅有 1 人罹病，那麼微小的偽陽性率會套用在 99 個健康者身上——人數如此之多，使得誤報數倍於真陽性。如此忽略盛行率，即稱為基準率謬誤。

計算範例

假設某病況影響受檢族群的百分之一，檢驗可檢出真實病例的 90%，並會誤判 5% 的健康者為陽性。事前機率即盛行率 0.01，敏感度為 0.90，偽陽性率為 0.05：

因此陽性結果將病況的機率由 1% 提高至約 15%。檢驗大幅推升了機率——達十五倍——然而單一陽性結果為偽的可能性仍高於為真。這正是為何罕見病況的篩檢通常會再以第二次、特異度更高的檢驗加以確認，而非逕自視為定論。

延伸

同一定理也可寫成勝算形式，往往更便於推理：事後勝算等於事前勝算乘上概似比 $P(B|A) / P(B|\lnot A)$。以上述範例而言，事前勝算為一比九十九，概似比為十八，得出事後勝算為十八比九十九，約等於 15%——與前述答案相同。密切相關的 勝算比計算機 則直接比較兩個這類比值。

貝氏定理亦支援逐次更新：一次檢驗之後，事後機率即成為下一次的事前機率。兩次各自獨立的陽性檢驗依序套用，會把機率推得遠高於任一次單獨的結果——這正是確診性檢驗建立其可信度的方式。每當證據逐步累積，同一法則便在每一步適用，前一日的結論成為今日的起點。