最後更新：2026-07-01

卡方獨立性檢定

卡方獨立性檢定要問的是：在同一批對象上測得的兩個類別變數是相關還是獨立。資料存放於列聯表中，每個儲存格記錄落在某個類別組合的觀測數——就 2×2 表而言，每個變數各有兩個類別。檢定將實際觀測到的次數，與假設兩變數沒有關係時所期望的次數相比較，並回傳統計量、自由度與 p 值。對於「治療是否與結果相關」、「偏好是否取決於所屬群體」、「兩道問卷題目是否一起變動」這類問題，它是標準工具。

獨立性下的期望次數

若兩變數獨立，任一列所占的樣本比例就不應隨著你看哪一行而改變。這便決定了每個儲存格應有的數值。某儲存格的期望次數，是其列合計乘以行合計，再除以總計：

$E_{ij} = \frac{(\text{列 } i \text{ 合計})\,(\text{行 } j \text{ 合計})}{N}$

其中 $N$ 為觀測總數。這其實就是第 $i$ 列所占的樣本比例，乘上第 $j$ 行所占的比例，再放大回 $N$。關鍵在於：期望次數來自表本身的邊際，而非由你提供，這正是它與適合度檢定的區別。

統計量

檢定以皮爾森統計量概括觀測與期望之間的落差：

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

對每個儲存格加總，其中 $O$ 為觀測次數，$E$ 為期望次數。每個離差平方都除以期望次數，使得當期望為 5 時偏離 10 分量甚重，而當期望為 5000 時同樣的偏離則輕微。加總得到一個隨表偏離獨立性而增大的數。當觀測次數與期望次數完全相等時，每一項皆為零，$\chi^2 = 0$。

對於 2×2 表，整個總和可化為一個精簡的代數捷徑。將儲存格標記為

則統計量為

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

分母的四個因子即兩個列合計與兩個行合計。交叉積項 $ad - bc$ 衡量表偏離比例的程度：當各列成比例時它恰為零，也就是完全獨立的情形。

自由度與 p 值

統計量會與卡方分布相比較，而該分布的形狀由自由度決定。對於列聯表，

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

其中 $r$ 為列數、$c$ 為行數。因此 2×2 表的自由度為 1。直觀來說，一旦列合計與行合計固定，填入單一儲存格便可決定其餘所有格，故僅有一格可以自由變動。

p 值是上尾機率——在兩變數獨立的前提下，出現至少和觀測值一樣大的統計量的機率。此檢定本質上是上尾單側檢定：只有 $\chi^2$ 較大才代表有關聯，較小則表示表接近獨立。將 p 值與顯著水準 $\alpha$（常為百分之五）相比較。當 $p < \alpha$ 時，偏離獨立的程度大到抽樣雜訊難以輕易解釋，於是判定變數間存在關聯。當 $p \ge \alpha$ 時，資料與獨立性並不衝突——但這並不等於證明兩變數毫無關係。

計算範例

假設某診所記錄了兩種治療下病患是否康復：

此處 $a = 30$、$b = 10$、$c = 20$、$d = 40$、$N = 100$。套用捷徑，

2×2 表的檢定自由度為 1。在自由度 1 下，$\chi^2 \approx 16.667$ 對應的上尾 p 值約為 $0.0000446$。由於 $p \lt 0.01$，有強烈證據顯示康復與治療相關：接受治療 A 的病患康復的比率遠高於獨立性所預測。

假設

卡方近似建立在幾項條件之上。期望次數應相當大——常用的經驗法則要求每個期望次數至少為 5。對於期望次數偏小的 2×2 表，可採用葉茨連續性校正，或改用費雪精確檢定。觀測必須彼此獨立，每個對象只計一次且恰好落入一個儲存格，因此此檢定不適用於成對或重複量測（那類情形應使用麥內瑪檢定）。最後，此檢定作用於原始次數，而非百分比或比例：請先將任何比率換算成次數再輸入。

若要將單一類別變數與固定的假設分布相比較，而非比較兩個變數，請參閱 卡方適合度檢定；若要將 z 統計量換算為尾端機率，請參閱 Z 分數轉 P 值計算機。