首頁 數學 平均數的標準誤 產生日期: 2026年7月20日 下午09:34 平均數的標準誤 輸入 樣本標準差12樣本大小36信賴水準95%樣本平均數100 數學 平均數的標準誤 依樣本標準差與樣本大小，以 SEM = s/√n 計算平均數的標準誤（SEM），並建立信賴區間 x̄ ± z·SEM。請輸入標準差、樣本大小、信賴水準與樣本平均數。 輸入 樣本標準差 樣本中各個觀測值的離散程度（s）。離散程度越大，標準誤越大。若手邊只有變異數，請先取其平方根。 樣本大小 ≥ 1 樣本中的觀測值個數（n）。樣本越大，標準誤越小，但因為與平方根成比例，隨著 n 增加，改善幅度會逐漸縮小。 信賴水準 95% 平均數周圍區間的信賴水準。它決定臨界 z 值：90% → 1.645、95% → 1.96、99% → 2.576。 樣本平均數 你觀測到的樣本平均數（x̄）。它是信賴區間的中心，計算標準誤本身並不需要它，只用來定位區間。 結果 輸入數值即可顯示計算結果。 平均數的標準誤 樣本平均數之抽樣分布的標準差 s/√n。用來衡量樣本平均數在不同樣本間預期會有多大的變動。 s = 12n = 36C = 95%x̄ = 100 平均數的標準誤 \begin{aligned} \text{SEM} &= \dfrac{s}{\sqrt{n}} \\ &= \dfrac{12}{\sqrt{36}} \\ &= ? \end{aligned} 下限 信賴區間的下限 x̄ − z·SEM。 上限 信賴區間的上限 x̄ + z·SEM。 臨界 z 值 所選信賴水準對應的標準常態分布乘數。 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-07-01 這個計算器的功能 這個計算器會依樣本的標準差與大小求出平均數的標準誤（SEM），並圍繞樣本平均數建立信賴區間。請輸入標準差、樣本大小、信賴水準與觀測到的樣本平均數。 什麼是平均數的標準誤 當你從樣本估計平均數時，這個估計值永遠不會完全準確——換一個隨機樣本就會得到略為不同的平均數。平均數的標準誤量化了這種不確定性：它是平均數之抽樣分布的標準差，也就是樣本平均數在不同樣本間預期會有多大的變動。 標準誤越小，代表你的樣本平均數把母體平均數框得越緊；越大，代表估計越寬鬆。它是平均數之信賴區間與假設檢定的核心要素。 公式 SEM=sn\text{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}}SEM=ns SEM — 平均數的標準誤 s — 樣本標準差 n — 樣本大小 標準差衡量原始資料的離散程度；除以 n\sqrt{n} 就把它轉換成平均數的離散程度。對許多觀測值取平均會抵消個別的雜訊，因此平均數比任何單一資料點都更穩定，而且取平均的數量越多就越穩定。 信賴區間 有了標準誤後，母體平均數的信賴區間就是樣本平均數加減臨界值乘以標準誤： xˉ±z⋅SEM\bar{x} \pm z \cdot \text{SEM}xˉ±z⋅SEM 臨界值 zz 來自標準常態分布，由信賴水準決定（90% 為 1.645、95% 為 1.96、99% 為 2.576）。在 95% 信賴水準下，這表示若研究重複多次，以此方式建立的區間中約有 95% 會包含真實的母體平均數。 標準誤與標準差的差異 兩者都衡量「離散程度」，因此容易混淆，但描述的對象並不同： 量描述何者的離散程度當 n 增加時的行為標準差（s）樣本內的個別觀測值大致維持不變標準誤（SEM）各樣本間的樣本平均數趨近於零（∝ 1/√n） 蒐集更多資料不會讓個別數值變動變小，因此標準差是穩定的。但它確實會讓平均數更可靠，所以標準誤會持續下降。 為何標準誤隨 √n 縮小 由於樣本大小位於平方根之下，標準誤與 1/n1/\sqrt{n} 成比例下降，而非與 nn 成反比。這會造成報酬遞減： 樣本大小 n相對標準誤1001.004000.501,6000.256,4000.125 要把標準誤減半，必須把樣本增為四倍。每提升一分精確度，成本都會逐步升高。 計算範例 假設一個大小為 36 的樣本，標準差為 12、平均數為 100，並想求 95% 的信賴區間。臨界值為 1.96： SEM=sn=1236=126=2xˉ±z⋅SEM=100±1.96×2=100±3.92=(96.08, 103.92)\begin{aligned} \text{SEM} &= \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2 \\ \bar{x} \pm z \cdot \text{SEM} &= 100 \pm 1.96 \times 2 \\ &= 100 \pm 3.92 = (96.08,\ 103.92) \end{aligned}SEMxˉ±z⋅SEM=ns=3612=612=2=100±1.96×2=100±3.92=(96.08, 103.92) 平均數的標準誤為 2，95% 信賴區間介於 96.08 至 103.92。依這個樣本判斷，母體平均數大致落在該範圍內的某處。 當標準差是由小樣本估計而來 上面的區間使用常態臨界值 zz，適用於已知母體標準差，或樣本夠大以致 ss 是可靠替代的情況。常見的經驗法則是 n≥30n \geq 30。 當 ss 是由小樣本估計而來時，將 zz 換成 t 分布的值；t 分布尾部較厚，以反映額外的不確定性： xˉ±t n−1⋅sn\bar{x} \pm t_{\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}xˉ±tn−1⋅ns t 值取決於自由度（比樣本大小少 1），且總是略大於對應的 z 值，因此會使區間變寬。隨著 n 增大，t 值會再次收斂至 z。 相關計算器 信賴區間計算機 會針對平均數與比例，圍繞你的估計值建立完整區間；誤差界限計算機 則直接給出半寬 z⋅SEMz \cdot \text{SEM}。若要先從原始資料求出標準差，請使用 變異數與標準差計算機。 常見問題（FAQ）什麼是平均數的標準誤？平均數的標準誤（SEM）衡量樣本平均數估計真實母體平均數的精確程度。它是平均數之抽樣分布的標準差，也就是若從母體反覆抽取相同大小的新樣本，樣本平均數會有多大的變動。 標準誤越小，代表樣本平均數是越精確的估計值；越大，代表可能偏離越多。其計算方式為樣本標準差除以樣本大小的平方根。 標準誤與標準差有何不同？標準差（s）描述單一樣本內各個觀測值的離散程度，也就是典型資料點距離平均數多遠。標準誤（SEM）描述樣本平均數在假想的反覆抽樣間的離散程度，也就是典型的樣本平均數距離真實母體平均數多遠。 由於 SEM = s/√n，標準誤在 n > 1 時恆小於標準差，且隨樣本增大而縮小；而標準差不論收集多少觀測值都大致保持不變。 樣本大小如何影響標準誤？標準誤與 1/√n 成比例縮小，而非 1/n。由於樣本大小位於平方根之下，要將標準誤減半，必須把樣本增為四倍。將觀測值從 100 增至 400 會使標準誤減半；再從 400 增至 1,600 會再減半一次。這條平方根法則說明了為何每提升一分精確度，成本都會逐步升高。 區間應該用 z 還是 t？本計算器在建立區間時使用標準常態分布的 z 值（90%、95%、99% 分別為 1.645、1.96、2.576），適用於已知母體標準差或樣本夠大的情況；常見的經驗法則是 n ≥ 30。 若標準差是由小樣本估計而來，則改用 t 分布。t 分布尾部較厚，臨界值取決於自由度（n − 1），會使區間稍寬。隨著 n 增大，t 值會收斂至 z 值。 推薦的下一個 信賴區間計算機 輸入樣本平均數、標準差與樣本數，即可計算 90%、95%、99% 信賴區間及誤差範圍。 深入了解誤差界限計算機 以 E = z·σ/√n 計算母體平均數的誤差界限，並求出對應的信賴區間 x̄ ± E。輸入信賴水準、標準差、樣本數與樣本平均數。 深入了解變異數與標準差計算機 輸入逗號分隔的數值，計算變異數與標準差。支援樣本（n−1，貝塞爾修正）與母體（n）兩種模式自由切換。 深入了解Z分數計算機 計算常態分布中任意數值的Z分數（標準分數）及近似百分等級，輸入數值、平均數與標準差即可，無需查Z表。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多統計 加權平均計算機卡方適合度檢定卡方獨立性檢定平均絕對偏差計算器平均數、中位數與眾數計算機平均數的標準誤 +27 more Show less 平均數樣本數計算機母體比例信賴區間計算機皮爾森相關係數計算機共變異數計算器百分比誤差計算機百分位數與四分位數計算機貝氏定理計算機兩比例 z 檢定信賴區間計算機柯恩 d 值計算器相對風險計算機益一需治數（NNT）計算器勝算比計算機單因子變異數分析工具單樣本 t 檢定計算器幾何平均數計算描述統計計算機誤差界限計算機樣本數計算機（比例）線性迴歸計算機調和平均數計算器雙樣本 t 檢定計算機（Welch）離群值計算器（IQR 法）變異係數計算機變異數與標準差計算機Z 分數轉 P 值計算機Z分數計算機 其他數學計算機 代數 2×2 反矩陣計算器2×2 特徵值與特徵向量計算器一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器二項式定理 — 展開 (a + b)ⁿ三元一次聯立方程式求解（克拉瑪公式）三次方程式求解器多項式求值（霍納法）多項式定積分計算機多項式導數計算機行列式計算機（2×2 與 3×3）辛普森法則計算器指數成長與衰減計算器矩陣乘法計算配方法計算機高斯消去法計算機（3×3）梯形法則計算器部分分式分解計算器絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）複數計算器平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式拋物線焦點與準線計算器直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機菱形面積計算器黃金比例計算器圓弓形計算機圓方程式計算器圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機橢圓焦點計算器環形面積計算機點到直線距離計算機雙曲線計算器立體幾何 半球體積與表面積計算四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線角錐台體積計算空間中兩點間距離（3D）長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機橢球體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）向量投影計算機兩向量夾角計算器極座標 ⇄ 直角座標轉換器餘弦定理計算機點積計算機率 二項分布機率計算機卜瓦松分配計算均勻分布計算器指數分布計算器負二項分布計算器常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)幾何分配計算機期望值計算機階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 巴斯卡三角形平均變化率計算機等比數列計算機等差數列計算機費氏數列計算機數論 次方計算科學記數法轉換器第 n 次方根計算最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機數字捨入計算機模運算計算機歐拉函數計算機質因數分解計算機質數判斷器整除性規則查驗器羅馬數字轉換器分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-07-01 這個計算器的功能 這個計算器會依樣本的標準差與大小求出平均數的標準誤（SEM），並圍繞樣本平均數建立信賴區間。請輸入標準差、樣本大小、信賴水準與觀測到的樣本平均數。 什麼是平均數的標準誤 當你從樣本估計平均數時，這個估計值永遠不會完全準確——換一個隨機樣本就會得到略為不同的平均數。平均數的標準誤量化了這種不確定性：它是平均數之抽樣分布的標準差，也就是樣本平均數在不同樣本間預期會有多大的變動。 標準誤越小，代表你的樣本平均數把母體平均數框得越緊；越大，代表估計越寬鬆。它是平均數之信賴區間與假設檢定的核心要素。 公式 SEM=sn\text{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}}SEM=ns SEM — 平均數的標準誤 s — 樣本標準差 n — 樣本大小 標準差衡量原始資料的離散程度；除以 n\sqrt{n} 就把它轉換成平均數的離散程度。對許多觀測值取平均會抵消個別的雜訊，因此平均數比任何單一資料點都更穩定，而且取平均的數量越多就越穩定。 信賴區間 有了標準誤後，母體平均數的信賴區間就是樣本平均數加減臨界值乘以標準誤： xˉ±z⋅SEM\bar{x} \pm z \cdot \text{SEM}xˉ±z⋅SEM 臨界值 zz 來自標準常態分布，由信賴水準決定（90% 為 1.645、95% 為 1.96、99% 為 2.576）。在 95% 信賴水準下，這表示若研究重複多次，以此方式建立的區間中約有 95% 會包含真實的母體平均數。 標準誤與標準差的差異 兩者都衡量「離散程度」，因此容易混淆，但描述的對象並不同： 量描述何者的離散程度當 n 增加時的行為標準差（s）樣本內的個別觀測值大致維持不變標準誤（SEM）各樣本間的樣本平均數趨近於零（∝ 1/√n） 蒐集更多資料不會讓個別數值變動變小，因此標準差是穩定的。但它確實會讓平均數更可靠，所以標準誤會持續下降。 為何標準誤隨 √n 縮小 由於樣本大小位於平方根之下，標準誤與 1/n1/\sqrt{n} 成比例下降，而非與 nn 成反比。這會造成報酬遞減： 樣本大小 n相對標準誤1001.004000.501,6000.256,4000.125 要把標準誤減半，必須把樣本增為四倍。每提升一分精確度，成本都會逐步升高。 計算範例 假設一個大小為 36 的樣本，標準差為 12、平均數為 100，並想求 95% 的信賴區間。臨界值為 1.96： SEM=sn=1236=126=2xˉ±z⋅SEM=100±1.96×2=100±3.92=(96.08, 103.92)\begin{aligned} \text{SEM} &= \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2 \\ \bar{x} \pm z \cdot \text{SEM} &= 100 \pm 1.96 \times 2 \\ &= 100 \pm 3.92 = (96.08,\ 103.92) \end{aligned}SEMxˉ±z⋅SEM=ns=3612=612=2=100±1.96×2=100±3.92=(96.08, 103.92) 平均數的標準誤為 2，95% 信賴區間介於 96.08 至 103.92。依這個樣本判斷，母體平均數大致落在該範圍內的某處。 當標準差是由小樣本估計而來 上面的區間使用常態臨界值 zz，適用於已知母體標準差，或樣本夠大以致 ss 是可靠替代的情況。常見的經驗法則是 n≥30n \geq 30。 當 ss 是由小樣本估計而來時，將 zz 換成 t 分布的值；t 分布尾部較厚，以反映額外的不確定性： xˉ±t n−1⋅sn\bar{x} \pm t_{\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}xˉ±tn−1⋅ns t 值取決於自由度（比樣本大小少 1），且總是略大於對應的 z 值，因此會使區間變寬。隨著 n 增大，t 值會再次收斂至 z。 相關計算器 信賴區間計算機 會針對平均數與比例，圍繞你的估計值建立完整區間；誤差界限計算機 則直接給出半寬 z⋅SEMz \cdot \text{SEM}。若要先從原始資料求出標準差，請使用 變異數與標準差計算機。 常見問題（FAQ）什麼是平均數的標準誤？平均數的標準誤（SEM）衡量樣本平均數估計真實母體平均數的精確程度。它是平均數之抽樣分布的標準差，也就是若從母體反覆抽取相同大小的新樣本，樣本平均數會有多大的變動。 標準誤越小，代表樣本平均數是越精確的估計值；越大，代表可能偏離越多。其計算方式為樣本標準差除以樣本大小的平方根。 標準誤與標準差有何不同？標準差（s）描述單一樣本內各個觀測值的離散程度，也就是典型資料點距離平均數多遠。標準誤（SEM）描述樣本平均數在假想的反覆抽樣間的離散程度，也就是典型的樣本平均數距離真實母體平均數多遠。 由於 SEM = s/√n，標準誤在 n > 1 時恆小於標準差，且隨樣本增大而縮小；而標準差不論收集多少觀測值都大致保持不變。 樣本大小如何影響標準誤？標準誤與 1/√n 成比例縮小，而非 1/n。由於樣本大小位於平方根之下，要將標準誤減半，必須把樣本增為四倍。將觀測值從 100 增至 400 會使標準誤減半；再從 400 增至 1,600 會再減半一次。這條平方根法則說明了為何每提升一分精確度，成本都會逐步升高。 區間應該用 z 還是 t？本計算器在建立區間時使用標準常態分布的 z 值（90%、95%、99% 分別為 1.645、1.96、2.576），適用於已知母體標準差或樣本夠大的情況；常見的經驗法則是 n ≥ 30。 若標準差是由小樣本估計而來，則改用 t 分布。t 分布尾部較厚，臨界值取決於自由度（n − 1），會使區間稍寬。隨著 n 增大，t 值會收斂至 z 值。
