Zuletzt aktualisiert: 2026-06-06

Polynomauswertung an einem Punkt

Ein Polynom P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ ordnet jeder reellen Zahl x einen eindeutigen Funktionswert zu. Die direkte Berechnung — jede Potenz von x separat bilden, mit dem zugehörigen Koeffizienten multiplizieren und die Terme summieren — erfordert für Grad n bis zu n(n+1)/2 Multiplikationen. Das Hornersche Schema reduziert diesen Aufwand auf das theoretische Minimum: genau n Multiplikationen und n Additionen, indem das Polynom als verschachteltes Produkt geschrieben wird:

$P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0$

Dieses Verfahren ist Grundlage moderner Computeralgebrasysteme und numerischer Bibliotheken.

Der Rechner nimmt die Koeffizienten vom höchsten zum niedrigsten Grad entgegen (z. B. 1, -3, 2, 5 für x³ − 3x² + 2x + 5) sowie einen Auswertungspunkt x und gibt Grad, Polynomdarstellung und P(x) zurück — ergänzt durch einen interaktiven Graphen, der die Kurve im Bereich um den Auswertungspunkt zeigt.

Hornersches Schema — Schritt für Schritt

Der Algorithmus führt einen laufenden Akkumulator, der mit dem führenden Koeffizienten aₙ initialisiert wird. Für jeden weiteren Koeffizienten gilt:

$r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad \text{für } k = 1, 2, \ldots, n$

Nach n Schritten enthält der Akkumulator P(x).

Rechenbeispiel: P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 an der Stelle x = 2 (Koeffizienten: 1, -3, 2, 5)

Ergebnis: P(2) = 5 — zur Kontrolle: 2³ − 3·2² + 2·2 + 5 = 8 − 12 + 4 + 5 = 5 ✓

Effizienzvergleich

Die naive Auswertung berechnet jede Potenz von Grund auf neu: x² = x·x, x³ = x²·x usw. Für Grad n sind das bis zu n(n+1)/2 Multiplikationen, bevor die Summation beginnt. Das Hornersche Schema verwendet jedes Zwischenergebnis genau einmal weiter und kommt mit n Multiplikationen aus.

Hinzu kommt ein numerischer Vorteil: Da keine großen Zwischenwerte (hohe Potenzen von x) auftreten, ist das Hornersche Schema weniger anfällig für Auslöschungsfehler, wenn Koeffizienten stark unterschiedliche Größenordnungen haben.

Koeffizienteneingabe

Die Koeffizienten sind vom höchsten Grad bis zum konstanten Glied durch Kommas getrennt einzugeben. Fehlende Potenzen müssen mit einer 0 aufgefüllt werden — eine übergangene Stelle verschiebt alle nachfolgenden Koeffizienten um einen Grad nach oben.

Der Grad des Polynoms entspricht stets der Anzahl der eingegebenen Werte minus eins. Ein einziger Wert steht für ein Polynom vom Grad 0 (eine Konstante).

Zusammenhang mit der synthetischen Division

Das Hornersche Schema ist algebraisch äquivalent zur synthetischen Division — dem Verfahren zur Division eines Polynoms P(x) durch einen Linearfaktor (x − c). Der Rest dieser Division ist P(c); der Quotient Q(x) erfüllt die Identität:

$P(x) = (x - c)\,Q(x) + P(c)$

Ein einziger Hornerschritt liefert daher gleichzeitig P(c) (den Rest) und die Koeffizienten von Q(x). Wertet man Q(c) aus, erhält man P′(c) — den Wert der Ableitung an der Stelle c. Diese Eigenschaft ist die Grundlage des Newton-Raphson-Verfahrens zur iterativen Nullstellenbestimmung, bei dem in jedem Schritt P(xₖ) und P′(xₖ) benötigt werden.

Anwendungen

Die Polynomauswertung tritt in zahlreichen Gebieten der Mathematik, Informatik und Ingenieurwissenschaften auf:

• Computergrafik. Bézierkurven und Splines sind parametrische Polynome; jeder Pixel auf einer kubischen Bézierkurve erfordert die Auswertung eines Polynoms dritten Grades, hunderte Male pro Bild.
• Signalverarbeitung. FIR-Filter sind Faltungen, die im z-Bereich als Polynommultiplikationen beschrieben werden; die Auswertung am Einheitskreis entspricht einer Reihe von Hornerschritten.
• Nullstellensuche. Das Newton-Raphson-Verfahren wertet P(x₀) und P′(x₀) in jeder Iteration aus — beides liefert ein einziger Hornerschritt über die synthetische Division.
• Prüfsummen. Zyklische Redundanzprüfungen (CRC) werten ein Binärpolynom modulo einem Generatorpolynom über GF(2) aus — strukturell ein Hornerschema über dem Körper der zwei Elemente.
• Regelungstechnik. Übertragungsfunktionen sind rationale Polynome in s (Laplace-Bereich) oder z (Z-Bereich); die Stabilitätsanalyse erfordert die Auswertung des charakteristischen Polynoms auf der imaginären Achse.

Weiterführendes

Zur Berechnung von P′(x) neben P(x) steht die der Ableitung eines Polynoms an einem Punkt bereit. Für die Integration des Polynoms eignet sich die der Bestimmtes Integral eines Polynoms. Nullstellen lassen sich mit der der Quadratische Gleichung – Löser (Grad 2) oder der der Kubische Gleichung lösen (Grad 3) bestimmen.