最後更新：2026-07-01

調和平均數

n 個正數的調和平均數，是個數除以各數值倒數之和。對於數值 x₁, x₂, …, xₙ，調和平均數 H 為：

H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)

等價地，它是各倒數的算術平均數的倒數。算術平均數直接把數值相加，而調和平均數則在倒數的空間中運算，這正是它適合用於比率平均的原因。

何時使用調和平均數

當資料是分子為固定量的比率或比值時，調和平均數就是適當的平均。最常見的應用包括：

等距離的平均速率。 速率是單位時間內的距離。當各速率所行駛的距離相等時，整體平均速率是各速率的調和平均數，而非算術平均數。

本益比及其他財務比率。 在對多家公司的本益比取平均，或據以建構指數時，調和平均數可避免少數極高的比率在算術平均中造成的扭曲。

物理與工程中的比率與密度。 並聯電阻、共同完成任務的有效工作率，以及油耗（每單位燃料的距離）都是透過倒數來合成的，因此調和平均數才是正確的彙總值。

簡單準則：若資料是以「每單位多少」表示的比率，而那個「多少」保持不變，調和平均數就會給出真正的整體比率。

計算範例

一輛送貨車在三段等長路段上分別以時速 2 公里、4 公里、8 公里行駛。整段路線的平均速率是三個速率的調和平均數：

• 倒數之和： 1/2 + 1/4 + 1/8 = 0.875
• 調和平均數： 3 / 0.875 = 24/7 ≈ 時速 3.43 公里

將其與算術平均數 (2 + 4 + 8) / 3 ≈ 時速 4.67 公里比較。算術數值偏高，是因為在較慢的路段上花費了更多時間；調和平均數正確地考慮了這段額外的時間。

為什麼平均速率是調和平均數

考慮一趟等距離的往返：去程時速 60 公里、回程時速 40 公里。總距離為 2d，總時間為 d/60 + d/40。平均速率是總距離除以總時間：

平均速率 = 2d / (d/60 + d/40) = 2 / (1/60 + 1/40) = 時速 48 公里

距離 d 相互抵消，恰好剩下 60 與 40 的調和平均數。這之所以成立，是因為距離相等。反之，若時間相等（以時速 60 公里行駛一小時，再以時速 40 公里行駛一小時），則時速 50 公里的算術平均數才正確。該選用哪種平均，完全取決於哪個量保持不變。

算術—幾何—調和平均不等式

對於任一組正數，三種畢氏平均數有如下大小順序：

算術平均數 ≥ 幾何平均數 ≥ 調和平均數

唯有當所有數值都相同時才會取等號。以數值 2, 4, 8 為例，算術平均數約為 4.667，幾何平均數為 4，調和平均數約為 3.429，清楚地說明了算術 ≥ 幾何 ≥ 調和。資料越分散，差距越大，因此三種平均數之間的距離本身就是離散程度的粗略量度。

此順序源自倒數函數與對數函數的凸性，是數學中經典的不等式之一。

為什麼所有數值都必須為正

調和平均數由倒數構成。數值為零沒有倒數，因此公式沒有定義。正負值混雜時，倒數可能幾乎相互抵消，使調和平均數趨向任意大的值或失去意義。在所有實際應用中（速率、比率、價格、頻率），這些量本質上都是正的，因此要求數值大於零正好符合實務情況。

與其他平均的關係

調和平均數是三種畢氏平均數之一：

• 算術平均數（AM）： 一般的平均，適用於可相加的量。
• 幾何平均數（GM）： 乘積的 n 次方根，適用於成長因子等可相乘的量。
• 調和平均數（HM）： 倒數平均的倒數，適用於比率與比值。

本計算器會同時計算三者，讓你能直接比較，並在自己的資料上驗證 AM ≥ GM ≥ HM 的順序。

相關計算器

• 幾何平均數計算 — 乘積的 n 次方根，適用於可相乘的資料
• 平均數、中位數與眾數計算機 — 算術平均數、中位數、眾數與全距
• 加權平均計算機 — 各數值帶權重的平均
• 描述統計計算機 — 資料集的完整描述統計

常見問題（FAQ）

什麼時候應該使用調和平均數？

當你要對共用同一分子的比率或比值取平均時，就適合使用調和平均數，也就是以「每單位多少」表示的量，例如速率（每小時行駛的距離）、本益比或密度。由於這些量是以固定的量除以變動的基準來定義的，因此其真正的平均值要藉由對倒數取平均才能得到，而這正是調和平均數的作用。

實用準則：若資料是比率，而保持不變的量位於分子（距離相等、投資金額相等），調和平均數會給出正確的整體比率。對於溫度或考試分數等可相加的量，則改用算術平均數。

為什麼平均速率是調和平均數？

假設一段行程以兩種不同速率行駛相同的距離，例如去程時速 60 公里、回程時速 40 公里。算術平均數（時速 50 公里）是錯誤的，因為在較慢的速率上花費的時間較多。整段行程正確的平均速率是兩個速率的調和平均數：2 / (1/60 + 1/40) = 時速 48 公里。

此處之所以適用調和平均數，是因為距離相等而時間不同。反之，若時間相等（以時速 60 公里行駛一小時，再以時速 40 公里行駛一小時），則算術平均數才正確。關鍵在於根據保持不變的量來選擇合適的平均數。

為什麼所有數值都必須為正？

調和平均數是由倒數構成的：它以個數除以各數值 1/x 之和。若任一數值為零，其倒數沒有定義，公式便無法成立。若數值可正可負，倒數可能互相抵消而使總和趨近於零，導致調和平均數變成任意大的值或失去意義。

在實務上，調和平均數應用於本質上為正的量，例如速率、比率、價格與頻率，因此要求所有數值都大於零，正好符合所有實際的使用情境。

三種平均數如何比較？

對於任一組並非全部相等的正數，三種畢氏平均數有嚴格的大小順序：算術平均數 ≥ 幾何平均數 ≥ 調和平均數。唯有當所有數值都相同時才會取等號。

以數值 2, 4, 8 為例，算術平均數約為 4.667，幾何平均數為 4，調和平均數約為 3.429，正好印證算術 ≥ 幾何 ≥ 調和。本計算器會同時顯示三者，讓大小順序一目了然。資料越分散，各平均數之間的差距就越大。