最後更新：2026-07-13

離群值與 IQR 法

離群值是遠離資料其餘部分的數值。離群值可能是真實的——創紀錄的銷售日、身高格外突出的人——也可能是錯誤，例如打錯的數字或故障的感測器讀數。無論哪種，它們都會扭曲平均數並誇大離散程度的指標，因此有一套一致的判定規則會很有幫助。

由統計學家約翰·圖基提出的四分位距（IQR）法，是最廣為使用的規則之一。它不倚賴會被極端值牽動的平均數與標準差，而是以遠為穩定的四分位數來構成界線。這使它成為可靠的預設方法，尤其適用於偏態資料。

四分位數與四分位距

將資料排序，分成四個相等的部分，分界點即為四分位數：

• Q1（第一四分位數）是第 25 百分位數，四分之一的數值低於它。
• Q2 是中位數，即第 50 百分位數。
• Q3（第三四分位數）是第 75 百分位數，四分之三的數值低於它。

四分位距是外側兩個四分位數之間的距離：

IQR = Q3 − Q1

它衡量資料中間半數的離散程度，完全忽略兩端的尾部，這正是它不受離群值影響的原因。

1.5×IQR 規則

此方法在中央盒子的兩側各設一條界線，稱為圍欄：

• 下界 = Q1 − 1.5 × IQR
• 上界 = Q3 + 1.5 × IQR

任何低於下界或高於上界的數值都會被標記為離群值。係數 1.5 是圖基的慣例：對常態資料而言，它約在平均數 2.7 個標準差之外，因此純屬偶然而落在界外的數值僅約 0.7%。係數更小會把太多普通點標記出來，更大則會漏掉真正的異常。

計算範例

以資料 10, 12, 12, 13, 12, 11, 40, 12, 11 為例。排序後為：

10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 40

共有 n = 9 個數值。以順序統計量之間的線性內插求得：

• Q1（第 25 百分位數）= 11
• Q3（第 75 百分位數）= 12
• IQR = 12 − 11 = 1

界線隨即得出：

• 下界 = 11 − 1.5 × 1 = 9.5
• 上界 = 12 + 1.5 × 1 = 13.5

接著把每個數值與界線比較。10 到 13 之間的數值都舒適地落在界內，但 40 遠高於 13.5 的上界。因此這組資料中唯一的離群值是 40——這與「有一個值明顯不屬於其餘」的直覺相符。

輕度與極端離群值

此規則常分兩個層級套用。超出 1.5×IQR 界線的數值稱為輕度離群值。把界線放寬到 3.0×IQR，便得到極端離群值：

• 下方極端界線 = Q1 − 3.0 × IQR
• 上方極端界線 = Q3 + 3.0 × IQR

每個極端離群值同時也是輕度離群值，但反之則不然。區分兩者有助於排定優先順序：輕度離群值往往只是自然偏大或偏小的觀測值，而極端離群值離其餘資料太遠，較可能是輸入錯誤或真正罕見的事件。本計算器採用標準的 1.5×IQR 界線；若要檢查極端離群值，請以係數 3.0 重新計算界線。

與盒鬚圖的關聯

IQR 法正是盒鬚圖背後的數學。盒子從 Q1 延伸到 Q3，內部一條線標出中位數，鬚線則延伸到仍落在 1.5×IQR 界線內、距離最遠的數值。任何超出鬚線的點都會被單獨畫成離群值。因此，讀盒鬚圖其實就是把這項計算視覺化。

找到離群值後該怎麼辦

發現離群值是調查的開始，而非刪除它的指令。請先確認它是否為錯誤——用錯的單位、位移的小數點、重複的輸入——若是就加以更正。若數值屬實，它可能承載著整組資料中最有趣的資訊，捨棄便會遮蔽值得了解的內容。

保留離群值時，中位數與 IQR 這類穩健摘要比可能被單一極端值扭曲的平均數與標準差更能忠實描述資料。任何排除某個點的決定都應記錄並說明理由，絕不該悄悄進行。

相關計算器

• 百分位數與四分位數計算機 — 資料的四分位數與百分位數
• 平均數、中位數與眾數計算機 — 中心指標，含穩健的中位數
• 變異數與標準差計算機 — 以平均數為基準衡量的離散程度
• 描述統計計算機 — 一組資料的完整摘要統計