最後更新：2026-07-01

辛普森法則

辛普森法則以拋物線取代直線段來估計定積分。每兩條相鄰的長條配一條通過三點的拋物線，積分則以這些拋物線下方的總面積來近似。由於拋物線能追蹤直線弦所遺漏的彎曲，在相同的取樣工夫下，辛普森法則通常比梯形法則準確得多。

把區間 [a, b] 分成寬度 h = (b − a) / n 的 n 個相等子區間，其中 n 為偶數。如此會產生 n + 1 個格點 x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b。在每個點取樣函數可得值 f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ)，估計式為：

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

本計算器是依取樣的函數值計算，而非輸入的公式：你在 n + 1 個等距點提供 f，這正是資料來自量測或表格時的情形。

為什麼權重是 1、4、2、4、2、…、4、1

取一組間距為 h 的三點 [x₀, x₁, x₂]。通過這些點的唯一拋物線，在該組上精確積分後得到

(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)

因此該組的中點權重為 4，兩端權重為 1。把連續的各組 [x₀, x₁, x₂]、[x₂, x₃, x₄]……相接後，每組的中點維持權重 4，而每個共用的邊界點屬於兩組，權重相加為 1 + 1 = 2。最外側的兩個端點只屬於一組，維持權重 1。整理這些項後，便得到 1、4、2、4、2、…、4、1，全部再乘上 h/3。正是這種成對的分組，使得 n 必須是偶數。

計算範例

以 n = 4 個子區間估計 ∫₀¹ x² dx。步長為 h = (1 − 0) / 4 = 0.25，格點為 0、0.25、0.5、0.75、1。x² 的取樣值為：

以權重 1、4、2、4、1 套用公式：

∫ ≈ (0.25/3)·[0 + 4(0.0625) + 2(0.25) + 4(0.5625) + 1] ∫ ≈ (0.25/3)·[0 + 0.25 + 0.5 + 2.25 + 1] = (0.25/3)·4 = 1/3

結果恰為 1/3，與積分的真值一致。這並非巧合：辛普森法則對三次以下的任意多項式都精確積分，因此像 x² 這樣的二次函數，無論用多少條長條都能零誤差地被捕捉。

誤差的行為

辛普森法則為四階精度：把 h 減半，誤差約降為十六分之一。對於四階導數連續的函數，[a, b] 上的誤差為

E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)

其中 ξ 為區間內某點。由此可得兩點結論：

• 由於誤差取決於四階導數，任何三次以下的多項式都會被精確積分——其四階導數為零。
• 對平滑曲線而言，h⁴ 這個因子讓誤差下降得非常快，因此往往只需不多的長條即可達到高準確度。

辛普森法則與梯形法則

梯形法則以直線段連接各點，因此誤差約與 h² 成正比（二階）。辛普森法則配以拋物線，達到 h⁴（四階），在相同點數下收斂得快得多。取捨如下：

• 辛普森法則要求子區間數為偶數，梯形法則可用於任意 n。
• 對於含雜訊或不規則的資料，硬套拋物線可能放大雜訊，此時梯形法則有時較穩健。

實用準則：當函數平滑且希望以相同工夫取得高準確度時，採用辛普森法則；作快速估計、處理含雜訊資料，或 n 必須為奇數時，採用梯形法則。

實用注意事項

• 僅限偶數子區間。 辛普森 1/3 法則把長條成對，故 n 必須為偶數。奇數的 n 計算器會提示。
• 對齊數量。 有 n 個子區間時，你必須提供剛好 n + 1 個值，每個格點各一個。若不符，計算器會提示，以維持等距。
• 維持順序。 依 x₀ = a 到 xₙ = b 的順序列出各值。奇數與偶數編號的內部點權重不同，故順序很重要。
• 上下限對調。 若 a 大於 b，步長為負，結果變號——這與「交換積分上下限會使積分變號」的慣例一致。
• 僅限等距。 這是均勻格點上的辛普森法則。間距不均的資料需要更一般的數值積分公式。

相關計算器

• 多項式定積分計算機 — 以微積分基本定理求多項式的精確積分
• 多項式導數計算機 — 單一點上的數值微分
• 等差數列計算機 — 等距值的項與和