最後更新：2026-07-01

梯形法則

梯形法則把取樣點之間的曲線換成直線段，藉此估計定積分。每一條長條變成一個梯形，積分就用這些梯形的總面積來近似。

把區間 [a, b] 分成 n 個等寬的子區間（h = (b − a) / n），會得到 n + 1 個格點 x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b。在每個點求出函數值 f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ)，估計式為：

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

本計算器以取樣的函數值運算，而非輸入的算式：你提供等距的 n + 1 個點上的 f，正是資料來自量測或數值表時的情況。

為什麼權重是 1、2、2、…、2、1

單一子區間 [xᵢ, xᵢ₊₁] 形成一個平行邊為 f(xᵢ) 與 f(xᵢ₊₁)、寬為 h 的梯形，面積是 (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁))。把 n 個梯形的面積相加時，每個內部點都被相鄰的兩個梯形共用，因此出現兩次；而兩個外側端點只出現一次。於是得到大家熟悉的權重 1、2、2、…、2、1，全部再乘上 h/2。內部採用的方便改寫為

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ]，

也就是把每個值都加兩次，再把端點各減一次。

範例計算

以 n = 4 個子區間估計 ∫₀¹ x² dx。步長為 h = (1 − 0) / 4 = 0.25，格點為 0、0.25、0.5、0.75、1。x² 的值如下：

套用法則：

∫ ≈ (0.25/2)·[0 + 2(0.0625) + 2(0.25) + 2(0.5625) + 1] ∫ ≈ 0.125·[0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 + 1] = 0.125·2.75 = 0.34375

精確值為 1/3 ≈ 0.33333，因此四條長條就已落在約 0.01 之內。細分到 n = 10 得 0.335，n = 100 得 0.333325——誤差大致與 h² 成比例下降。

誤差的行為

梯形法則為二階精度：把 h 減半，誤差約縮為四分之一。對於二次可微的函數，在 [a, b] 上的誤差為

E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)

其中 ξ 為區間內某點。由二階導數的符號可得兩項結論：

• 對上凹（f″ > 0）的曲線，弦在曲線上方，因此法則高估積分。
• 對下凹（f″ < 0）的曲線，弦在下方，因此低估積分。

對直線而言 f″ = 0，所以梯形法則是精確的——每條長條都是真正的梯形，沒有被略過的彎曲。

梯形法則與辛普森法則

辛普森法則不是用直線段，而是對每一對子區間配一條拋物線。它的誤差與 h⁴ 成比例，因此對平滑函數而言，在相同點數下收斂得快得多。代價是辛普森法則需要偶數個子區間，而梯形法則任何 n 都適用。此外，梯形法則對含雜訊或不規則的資料更穩健，因為硬把拋物線套在散亂的點上可能放大雜訊。

實用原則：需要快速估計、表列資料，或 n 必須為奇數時，用梯形法則；當函數平滑且想以相同取樣量取得高準確度時，改用辛普森法則。

實務提醒

• 數量要對齊。 n 個子區間需提供剛好 n + 1 個值（每個格點各一個）。若不一致，計算器會提示，以維持等距。
• 保持順序。 把值依 x₀ = a 到 xₙ = b 列出。端點與內部點的權重不同，因此順序很重要。
• 上下限對調。 若 a 大於 b，步長變為負值，結果隨之變號——這與對調積分上下限的慣例一致。
• 僅限等距。 這是均勻格點上的梯形法則。間距不等的資料需要逐條長條給寬度的一般梯形公式。

相關計算器

• 多項式定積分計算機 — 以微積分基本定理求多項式的精確積分
• 多項式導數計算機 — 單點的數值微分
• 等差數列計算機 — 等距數值的項與和