Última actualización: 2026-06-05

La aritmética modular es la rama de la teoría de números que estudia los enteros reducidos respecto a un divisor fijo llamado módulo. Dos enteros son congruentes módulo n si su diferencia es un múltiplo de n, lo que se escribe a ≡ b (mod n). Esta calculadora evalúa tres operaciones fundamentales: el resto de la división entera, la exponenciación modular rápida y el inverso modular.

La operación módulo

Para un módulo n ≥ 1, el resto matemático a mod n es el único entero r en [0, n − 1] que satisface:

$a = q \times n + r$

donde q = ⌊a / n⌋ es el cociente entero inferior y r es el resto. Esta definición garantiza siempre un resultado no negativo, a diferencia del resto truncado que utilizan muchos lenguajes de programación.

Ejemplo resuelto. Para a = 17 y n = 5:

$q = \lfloor 17 / 5 \rfloor = 3$

$r = 17 - 3 \times 5 = 2$

Luego 17 mod 5 = 2. La interpretación en aritmética de reloj es inmediata: al avanzar 17 posiciones en un dial de cinco marcas se llega a la posición 2.

Valores negativos. Para a = −7 y n = 5:

$q = \lfloor -7 / 5 \rfloor = -2$

$r = -7 - (-2) \times 5 = 3$

Así, −7 mod 5 = 3, no −2. La definición matemática conserva r no negativo. El operador % en C, JavaScript y Python 2 devolvería −2, ya que emplea el resto truncado en lugar del matemático.

Exponenciación modular

Calcular a^b mod n de forma directa —elevar primero a la potencia y reducir después— resulta inviable para exponentes grandes, porque a^b crece de manera exponencial. La exponenciación modular rápida (algoritmo de cuadrado y multiplicación) evita este problema reduciendo módulo n en cada paso.

El algoritmo descompone el exponente b en binario. Partiendo de resultado = 1:

• Se recorren los bits de b de menor a mayor peso.
• En cada bit, se eleva al cuadrado la base acumulada módulo n.
• Cuando el bit vale 1, se multiplica el resultado por la base actual, reduciendo de nuevo módulo n.

De este modo, el número de multiplicaciones es como máximo 2 log₂(b) en lugar de b − 1, y todos los valores intermedios permanecen en [0, n − 1].

Ejemplo resuelto. Para a = 17, b = 3, n = 5:

$17 \equiv 2 \pmod{5}$

$17^2 \equiv 4 \pmod{5}$

$17^3 = 17^2 \times 17 \equiv 4 \times 2 = 8 \equiv 3 \pmod{5}$

Comprobación directa: 17^3 = 4.913 = 982 × 5 + 3, por lo que 17^3 mod 5 = 3.

Inverso modular

El inverso modular de a módulo n es un entero x que satisface:

$a \times x \equiv 1 \pmod{n}$

Dicho inverso existe si y solo si mcd(a, n) = 1, es decir, a y n son coprimos. Cuando n es primo, todos los enteros de 1 a n − 1 tienen inverso. Cuando n es compuesto, los valores que comparten algún factor con n carecen de él.

El algoritmo de Euclides extendido calcula el inverso cuando existe. Amplía el algoritmo euclídeo estándar para rastrear combinaciones lineales y obtener enteros s y t tales que:

$a \times s + n \times t = \gcd(a, n)$

Cuando mcd(a, n) = 1, el valor s es el inverso modular de a módulo n.

Ejemplo resuelto. Para a = 3 y n = 5:

Aplicando el algoritmo de Euclides extendido:

• 5 = 1 × 3 + 2
• 3 = 1 × 2 + 1

Sustituyendo hacia atrás: 1 = 3 − 1 × 2 = 3 − 1 × (5 − 1 × 3) = 2 × 3 − 1 × 5

Por tanto, 3 × 2 ≡ 1 (mod 5), es decir, 3⁻¹ ≡ 2 (mod 5).

Verificación: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1.

La identidad euclídea y el cociente entero

Para todo par (a, n) con n ≥ 1, el cociente entero q = ⌊a / n⌋ y el resto r = a mod n satisfacen la identidad euclídea:

$a = q \times n + r, \quad 0 \leq r < n$

Esta calculadora muestra tanto r como q, de modo que la identidad puede verificarse directamente con cualquier par de valores.

Aplicaciones prácticas

La aritmética modular tiene presencia en múltiples áreas de las matemáticas y la informática:

• Criptografía de clave pública. El algoritmo RSA cifra un mensaje elevándolo a un exponente grande módulo el producto de dos primos. El descifrado utiliza el inverso modular del exponente de cifrado.
• Dígitos de control. El ISBN-13, el IBAN y el algoritmo de Luhn de las tarjetas bancarias emplean aritmética modular para detectar errores de transcripción.
• Aritmética de calendario. El día de la semana tras d días se calcula módulo 7; la fecha de la Pascua se obtiene mediante congruencias que expresan ciclos astronómicos.
• Funciones hash. Una clave se asigna al índice de un cubo mediante clave mod tamaño_tabla.
• Estructuras de datos cíclicas. Los búferes circulares y los arrays circulares avanzan el puntero de lectura y escritura mediante índice mod capacidad.