Raíz enésima
Datos de entrada
| Radicando | 27 |
|---|---|
| Índice de la raíz | 3 |
Raíz enésima
Calcula la raíz enésima principal de cualquier número real. Admite raíces cúbicas, cuartas y de orden superior, con la raíz real negativa para índices pares.
Datos de entrada
Resultados
Introduce un valor para ver los resultados.
La raíz enésima de un número x, representada como ⁿ√x, es el valor r que satisface rⁿ = x. Para n = 2 se obtiene la raíz cuadrada; para n = 3, la raíz cúbica. La calculadora determina la raíz enésima principal real y, cuando n es par y x es positivo, también la raíz real negativa.
Definición y convención de raíz principal
Para un radicando x positivo y cualquier entero n ≥ 2, la ecuación rⁿ = x tiene exactamente dos soluciones reales cuando n es par (una positiva y otra negativa) y una única solución real cuando n es impar. La raíz enésima principal se define como la raíz real que cumple:
- ⁿ√x ≥ 0 cuando x ≥ 0 (resultado positivo o nulo)
- ⁿ√x < 0 cuando x < 0 y n es impar (extensión natural a radicandos negativos)
Esta convención convierte ⁿ√x en una función bien definida: a cada entrada le corresponde una sola salida. El símbolo radical ⁿ√ denota siempre la raíz principal.
Fórmula
La raíz enésima principal se calcula mediante:
nx=sign(x)⋅∣x∣1/ndonde sign(x) vale +1 para x positivo, 0 para x = 0 y −1 para x negativo. Para x positivo la expresión se reduce a x^(1/n). Para x negativo con n impar, la fórmula produce un resultado negativo (por ejemplo, ∛(−8) = −2).
Raíz enésima como exponente fraccionario
La raíz enésima y el exponente 1/n son la misma operación:
nx=x1/nLa equivalencia se deriva de la regla de potencias: elevar x^(1/n) a la potencia n devuelve x, ya que (x^(1/n))ⁿ = x^(n/n) = x. La relación se generaliza: x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ), que combina una potencia m y una raíz de orden n en un único exponente fraccionario.
Raíces de índice par de números negativos
Cuando n es par, rⁿ es siempre no negativo para cualquier número real r, porque elevar un número negativo a una potencia par da un resultado positivo. Por tanto, rⁿ = x carece de solución real cuando x < 0. El resultado es un número complejo, fuera de la recta real.
Por ejemplo, √(−9) = 3i, no −3. El valor −3 satisface (−3)² = 9, no −9, de modo que no es una raíz cuadrada de −9.
Ejemplo resuelto
Problema: encontrar la raíz cuarta principal de 81 e identificar ambas raíces cuartas reales.
- Aplicar la fórmula: ⁴√81 = 81^(1/4).
- Calcular: 3⁴ = 81, luego 81^(1/4) = 3.
- La raíz cuarta principal es 3.
- Como n = 4 es par y x = 81 > 0, existe una segunda raíz real: −3.
- Verificación: (−3)⁴ = 81. ✓
Tanto 3 como −3 son raíces cuartas reales de 81; la raíz principal es 3.
Número de raíces reales según el índice
El número de raíces enésimas reales de un número x depende de la paridad de n:
| n | Raíces reales de x > 0 | Raíz real de x < 0 |
|---|---|---|
| Impar | 1 (positiva) | 1 (negativa) |
| Par | 2 (positiva y negativa) | Ninguna (solo complejas) |
En el campo de los números complejos, todo número no nulo tiene exactamente n raíces enésimas distintas, distribuidas uniformemente sobre una circunferencia en el plano complejo. La raíz principal es la de argumento (ángulo) no negativo mínimo.
Relación con logaritmos y potencias
La raíz enésima también puede expresarse mediante logaritmos:
nx=e(lnx)/n(x>0)Esta forma se utiliza en ciertos algoritmos numéricos cuando no se dispone de una operación directa de potenciación. Para x negativo con n impar, se calcula −(ⁿ√|x|).
Aplicaciones
- Escalado geométrico: si un cubo tiene volumen V, la longitud de su arista es ∛V, la raíz cúbica del volumen.
- Crecimiento compuesto: si una magnitud se multiplica por un factor F en n periodos, el factor por periodo es ⁿ√F.
- Estadística: la media geométrica de n valores es la raíz enésima de su producto.
- Procesamiento de señales: los valores eficaces (RMS) implican una raíz cuadrada; las normas de orden superior utilizan raíces de mayor índice.
Preguntas frecuentes (FAQ)
¿Se puede calcular la raíz de índice par de un número negativo?
No en los números reales. Las raíces de índice par requieren un radicando no negativo porque ningún número real, elevado a una potencia par, produce un resultado negativo. Por ejemplo, tanto 3² = 9 como (−3)² = 9 son positivos, de modo que √(−9) no tiene valor real. El resultado sería un número complejo (que involucra la unidad imaginaria i), operación que esta calculadora no realiza.
¿Qué diferencia hay entre √x y la raíz enésima principal?
El símbolo √ denota la raíz cuadrada principal (no negativa), que es un caso particular de la raíz enésima con n = 2. La raíz enésima principal se define como la raíz real que tiene el mismo signo que x: positiva cuando x > 0, negativa cuando x < 0 y n es impar. La convención de «principal» garantiza que la función devuelva un único valor bien definido.
¿Cómo se relaciona la raíz enésima con un exponente fraccionario?
La raíz enésima y el exponente fraccionario son la misma operación: ⁿ√x = x^(1/n). Esta equivalencia se deduce de la regla de potencias: (x^(1/n))^n = x^(n/n) = x, lo que confirma que x^(1/n) deshace la potencia n. En general, x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ), que combina una potencia y una raíz en un solo exponente fraccionario. Las calculadoras científicas utilizan la tecla y^x o x^(1/n) para calcular cualquier raíz.
¿Por qué existen varias raíces enésimas?
La ecuación tⁿ = x puede tener más de una solución según el valor de n. Para n par y x positivo, tanto t = ⁿ√x como t = −ⁿ√x satisfacen tⁿ = x, por lo que existen dos raíces reales. Para n impar hay exactamente una raíz real (positiva o negativa, con el mismo signo que x). En el campo de los números complejos, todo número no nulo tiene exactamente n raíces enésimas distintas, distribuidas uniformemente sobre una circunferencia en el plano complejo; aquí solo se consideran las raíces reales.
Recomendaciones
Calculadora de potencias
Calcula b elevado a la potencia n y su recíproco b^(−n). Admite exponentes positivos, negativos y fraccionarios, con desarrollo paso a paso.