最終更新: 2026-07-01

カイ二乗独立性の検定

カイ二乗独立性の検定は、同じ対象で測定した2つのカテゴリ変数が関連しているのか、それとも独立なのかを問うものです。データは分割表に収められ、各セルにはカテゴリの組み合わせごとに該当する観測数が入ります。2×2表なら、それぞれの変数が2つのカテゴリを持ちます。検定は、2変数に関係がない場合に期待される度数と実際に観測された度数を比較し、統計量・自由度・p値を返します。治療と結果に関連があるか、好みが所属集団によって変わるか、2つのアンケート回答が連動するか、といった問いに用いる標準的な手法です。

独立性のもとでの期待度数

2変数が独立ならば、どの行に含まれる標本の割合も、どの列を見るかによって変わらないはずです。これにより各セルに入るべき値が定まります。あるセルの期待度数は、その行合計と列合計の積を総計で割ったものです。

$E_{ij} = \frac{(\text{行 } i \text{ の合計})\,(\text{列 } j \text{ の合計})}{N}$

ここで $N$ は観測総数です。これは行 $i$ に含まれる標本の割合と列 $j$ に含まれる割合を掛け合わせ、$N$ に戻したものにすぎません。重要なのは、期待度数を自分で与えるのではなく表自身の周辺度数から得る点で、これが適合度検定との違いです。

統計量

検定は観測と期待の隔たりをピアソン統計量でまとめます。

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

すべてのセルにわたって合計し、$O$ は観測度数、$E$ は期待度数です。各偏差の二乗を期待度数で割ることで、期待が5のときの10のずれは重く、期待が5000のときの10のずれは軽く数えられます。総和は、表が独立性から離れるほど大きくなる1つの数値になります。観測度数が期待度数と完全に一致すれば、各項は0となり $\chi^2 = 0$ です。

2×2表では総和全体がコンパクトな代数的近道にまとまります。セルを次のように表すと

統計量は

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

分母の4つの因子は2つの行合計と2つの列合計です。交差積の項 $ad - bc$ は表が比例からどれだけ外れているかを測り、行が比例するとき、すなわち完全な独立のときにちょうど0になります。

自由度とp値

統計量は、自由度によって形が決まるカイ二乗分布と比較されます。分割表では

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

$r$ は行数、$c$ は列数です。したがって2×2表の自由度は常に1です。直感的には、行合計と列合計が固定されると、1つのセルを埋めれば残りはすべて決まるため、自由に動けるのは1つのセルだけです。

p値は上側確率、すなわち2変数が独立であるときに、観測された統計量以上の値が得られる確率です。この検定は本質的に上側の片側検定で、$\chi^2$ が大きい場合だけが関連の兆候となり、小さい場合は表が独立に近いことを意味します。p値を有意水準 $\alpha$（一般に5%）と比較します。$p < \alpha$ なら、独立からのずれが標本のばらつきだけでは説明しきれないほど大きく、変数は関連していると結論します。$p \ge \alpha$ ならデータは独立と矛盾しませんが、これは変数が無関係だと証明することとは異なります。

計算例

ある診療所が2つの治療のもとで患者が回復したかどうかを記録したとします。

ここで $a = 30$、$b = 10$、$c = 20$、$d = 40$、$N = 100$ です。近道を使うと

2×2表なので自由度は1です。自由度1で $\chi^2 \approx 16.667$ に対する上側p値は約 $0.0000446$ です。$p \lt 0.01$ なので、回復が治療と関連していることの強い証拠があり、治療Aの患者は独立性が予測するよりはるかに多く回復したといえます。

前提

カイ二乗近似はいくつかの条件に依存します。期待度数はある程度大きい必要があり、よく使われる目安ではすべての期待度数が5以上であることが求められます。期待度数の小さい2×2表では、イェーツの連続性補正を適用するか、フィッシャーの正確確率検定に切り替えます。観測は独立でなければならず、各対象は1回だけ数えられ、ちょうど1つのセルに入る必要があるため、対応のあるデータや反復測定には適用できません（その場合はマクネマー検定を用います）。最後に、この検定は割合や百分率ではなく生の度数に対して行うため、比率はあらかじめ度数に変換してから入力してください。

2変数どうしではなく、1つのカテゴリ変数を固定された仮説分布と比較したい場合は カイ二乗適合度検定 を、z統計量を裾確率に変換したい場合は Z値からのp値の計算 をご覧ください。