最終更新: 2026-07-01

複素数の四則演算

複素数は、実部と虚部を1つの量にまとめたもので、虚数単位 i（i² = −1 で定義される）を用いて a + bi と書きます。a を実部、b を虚部の係数と呼びます。このツールは2つの複素数 z₁ = a + bi と z₂ = c + di を受け取り、選んだ演算（加算・減算・乗算・除算）を行って、結果とともにその絶対値と偏角を表示します。

複素数は実数直線を二次元の平面へと拡張するため、電気工学、信号処理、制御理論、量子力学などで欠かせない存在です。

4つの演算

加算と減算は、ベクトルの和と同じく成分ごとに行います。

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

乗算は2つの二項式の積として展開し、i² = −1 を用いて i² の項を実部に戻します。

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

除算は、分子と分母に分母の共役 c − di を掛けます。これにより分母から虚部が消え、実数 c² + d² が残ります。

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

除算は、c² + d² = 0 となる 0 + 0i を除くすべての z₂ で定義されます。

計算例

問題： z₁ = 3 + 4i に z₂ = 1 + 2i を掛けます。

a = 3, b = 4, c = 1, d = 2 として乗算の規則を用います。

• 実部：ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• 虚部：ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

したがって z₁ z₂ = −5 + 10i です。

結果の絶対値は √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11.18、偏角は atan2(10, −5) ≈ 116.57° です。実部が負で虚部が正のため、第2象限に位置します。

絶対値と偏角

すべての複素数は平面上の1点に対応し、実部が水平軸、虚部が垂直軸になります。その点は2つの極座標量で表せます。

• 絶対値 r = √(x² + y²) は原点からの距離で、数の大きさを表します。
• 偏角 φ は正の実軸から測った角度です。2引数の逆正接 φ = atan2(y, x) を用いると、正しい象限の角度が得られ、値は −180° から 180°（ラジアンでは −π から π）の範囲になります。

直交形式と極形式

直交形式 x + yi は、水平・垂直の座標をそのまま並べます。極形式 r(cos φ + i sin φ) は、距離と角度を用います。両者は同じ数を表し、どちらを使うかは利便性の問題です。

加算と減算は成分が独立に組み合わさるため直交形式が簡単です。乗算・除算・累乗は、絶対値どうしを掛け（割り）、偏角どうしを足す（引く）だけで済むため極形式が簡単です。ド・モアブルの定理はこの性質に直接基づいており、複素数の累乗という面倒な作業を、偏角を整数倍する1回の操作に変えてくれます。