最終更新: 2026-07-13

母比率の信頼区間

「回答者の64%が政策に賛成」と調査で報じられても、その1つの割合は1回の標本から得た点推定にすぎません。信頼区間は、それを真の母比率について妥当な値の範囲へと変え、あわせて信頼水準を示します。標本比率に、標本ごとにどれだけ推定が動きうるかを表す誤差の幅を組み合わせたものです。

計算式

標本サイズ $n$ のうち成功数が $x$ のとき、標本比率は次のとおりです。

$$\hat{p} = \frac{x}{n}$$

標準誤差:

$$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}$$

誤差の幅:

$$E = z^{*} \times SE = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}$$

Wald信頼区間:

$$\hat{p} \pm E = \left[\hat{p} - E,\ \hat{p} + E\right]$$

臨界値 z（標準正規分布）:

信頼水準	$z^{*}$
90%	1.6449
95%	1.9600
99%	2.5758

Wald法とWilson法

上のWald区間は多くの入門書に載る式で、$\hat{p}$ を中心に左右対称、計算も簡単です。弱点は二項分布の正規近似に頼る点で、標本が小さいときや比率が0・1に近いときに崩れます。その場合、Wald区間は狭すぎて被覆確率が公称水準を下回り、下限が0%未満や上限が100%超になることさえあります。

Wilsonスコア区間は、対称性を仮定せずスコア検定を反転させてこの問題を解きます。

$$\frac{\hat{p} + \dfrac{z^{*2}}{2n} \pm z^{*}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \dfrac{z^{*2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{*2}}{n}}$$

Wilson区間は必ず0〜100%に収まり、非対称で、小さな $n$ でも被覆確率が目標の信頼水準に近く保たれます。近年はWilson法を標準とみなす統計家も多く、この計算機は両方を並べて比較できるようにしています。

正規近似はいつ有効か

Wald区間が信頼できるのは、次の2つがともに成り立つときという目安が広く使われます。

$$n\hat{p} \geq 5 \quad \text{かつ} \quad n(1 - \hat{p}) \geq 5$$

（教科書によっては10）。成功数が非常に少ない、比率が0や1に近い、標本が小さいといった場合は、Wilsonスコア区間や正確なClopper–Pearson区間に切り替えます。

解釈

95%信頼区間は、真の比率がその範囲に入る確率が95%という意味ではありません。真の母比率は固定された未知の定数であり、標本から作られる区間の方が確率的な対象です。

正しい意味はあくまで手順についての言明です。同じ標本抽出と区間構成を何度も繰り返せば、得られる区間のおよそ95%が真の比率を含みます。個々の区間は、それを含むか含まないかのどちらかです。

世論調査と誤差の幅

調査報道でよく示される「誤差±3ポイント」という1つの数字は、まさに95%信頼水準での $E = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ です。$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p} = 0.5$ で最大になるため、調査機関は多くの場合 $\hat{p} = 0.5$ の値を示し、1つの数字で全設問を安全側でカバーします。

誤差の幅は $\sqrt{n}$ に反比例して縮み、半分にするには標本を4倍にする必要があります。

標本サイズ	誤差の幅（95%、$\hat{p} = 0.5$）
n = 100	±9.8
n = 400	±4.9
n = 1000	±3.1
n = 1600	±2.5

計算例：支持率調査

有権者500人の調査で、320人が提案に賛成しました。

標本比率: $\hat{p} = 320 / 500 = 0.64$

標準誤差: $SE = \sqrt{0.64 \times 0.36 / 500} \approx 0.0215$

95%の誤差の幅: $E = 1.96 \times 0.0215 \approx 0.0421$

Wald区間:

$$0.64 \pm 0.0421 = [0.5979,\ 0.6821] = [59.79\%,\ 68.21\%]$$

同じデータのWilsonスコア区間は $[59.70\%,\ 68.09\%]$ で、$n = 500$ と大きく $\hat{p} = 0.64$ も端から遠いため、ここではほぼ一致します。2つの区間の差が大きくなるのは、標本が小さいときや比率が0・1に近いときです。

解釈：「この500人の標本から、有権者全体のおよそ60%〜68%が提案に賛成していると、95%の信頼度で推定できる。」

よくある質問 (FAQ)

Wald法とWilson法の違いは何ですか？

Wald区間（p̂ ± z*·√(p̂(1−p̂)/n)）は教科書で最初に習う式で、p̂ を中心に左右対称で計算も簡単です。標本が大きく p̂ が0.5付近のときはうまく働きますが、標本が小さい場合や比率が0・1に近い場合は精度が落ち、下限が0%未満や上限が100%超になることさえあります。Wilsonスコア区間はスコア検定を反転させて同じ問題を解く方法で、必ず0〜100%の範囲に収まり、区間は非対称で、小さな n でも被覆確率が公称水準に近く保たれます。近年はWilson法を標準とする統計家も多く、この計算機では両方を表示して比較できるようにしています。

世論調査の「誤差」とどう関係しますか？

調査結果が「支持52%、誤差±3ポイント」と報じられるとき、その±3がまさに95%信頼水準での誤差の幅 E = z*·√(p̂(1−p̂)/n) です。p̂(1−p̂) は p̂ = 0.5 のとき最大になるため、報道機関は多くの場合 p̂ = 0.5 の値を示し、一つの数字で調査内のすべての設問を安全側でカバーします。報じられた割合を成功数と標本サイズとして入力すれば区間を再現できます。

正規近似はいつ有効ですか？

Wald区間は二項分布の正規近似に依存しており、n·p̂ と n·(1 − p̂) がどちらも5以上（教科書によっては10以上）のときに妥当です。成功数が少ない、あるいは比率が0や1に近い場合は近似が崩れ、Wald区間は信頼できなくなります。まさにそのような場面でWilsonスコア区間（または正確なClopper–Pearson区間）を使うべきです。

得られた区間はどう解釈すればよいですか？

95%信頼区間が59.79%〜68.21%だからといって、真の比率がその範囲に入る確率が95%という意味ではありません。真の比率は固定された値です。正しくは、この区間を作る手順を繰り返すと、標本を取り直すたびに得られる区間の95%が真の母比率を含む、という意味です。実務上は、真の割合が示された範囲に収まるとおおむね信頼でき、区間が広いほど標本が小さいか信頼水準が厳しいことを示します。