最終更新: 2026-07-01

この計算機の機能

2×2行列の固有値と固有ベクトルを求めます。行列 A = [[a, b], [c, d]] の4つの成分を入力すると、トレース・行列式・固有方程式・2つの固有値（実数または複素数）と、各実固有値に対応する固有ベクトルを、計算過程つきで表示します。

行列 A の固有ベクトルとは、A を作用させても向きが変わらない0でないベクトルのことです。そのとき伸縮する倍率が固有値です。式で書くと次のようになります。

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

固有方程式

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ を $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ と書き直します。0でない解をもつのは、行列 $A - \lambda I$ が正則でない、すなわちその行列式が0になるときだけです。

$\det(A - \lambda I) = 0$

2×2行列では、これは $\lambda$ についての2次方程式に展開されます。

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

ここでトレースは $\operatorname{tr}A = a + d$、行列式は $\det A = ad - bc$ です。この2つの不変量だけで両方の固有値が定まります。

固有値を求める

固有方程式に解の公式を適用します。

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

根号の中の量 $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$ が判別式です。その符号で固有値の性質が決まります。

• $\Delta > 0$：相異なる2つの実固有値。
• $\Delta = 0$：重複した1つの実固有値。
• $\Delta < 0$：複素共役な組 $\alpha \pm \beta i$。

計算例

対称行列 [[2, 1], [1, 2]] を考えます。

まずトレースと行列式です。

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

固有方程式とその判別式は次のようになります。

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

$\Delta > 0$ なので固有値は実数です。

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

固有ベクトルを求める

各固有値 $\lambda$ について $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を解きます。2×2行列では2つの行が比例するので、1本の行だけで方向が定まります。$b \neq 0$ のときは $\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$ が確実な選び方です。

$\lambda_1 = 3$ のとき。

$$$$

$\lambda_2 = 1$ のとき。

$$$$

ベクトルをスカラー倍しても向きは変わらないので、これらの0でないスカラー倍もすべて固有ベクトルです。実際に $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$、$A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$ が成り立つことを確かめられます。

複素数になる場合

$\Delta < 0$ のとき根号の中身は虚数になり、固有値は複素共役な組になります。

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

回転行列が典型例です。90度回転 [[0, −1], [1, 0]] はトレース0、行列式1なので $\Delta = 0 - 4 = -4$ となり、固有値は $\pm i$ です。回転は実方向をひとつも保たないため、実数の固有ベクトルが存在しないのは自然なことで、固有ベクトルは複素平面に現れます。

トレース・行列式と固有値の関係

2つの不変量は固有値と直接結びついており、検算に使えます。

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

先ほどの例では $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$、$3 \cdot 1 = 3 = \det A$ です。固有値からトレースと行列式が再現できないときは、どこかで計算違いが起きています。

固有値の利用

• 対角化：相異なる固有値をもつ行列は $A = PDP^{-1}$ と書けます。$D$ は固有値を並べた対角行列で、これにより累乗 $A^n$ を簡単に計算できます。
• 安定性：系 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ では、固有値の実部の符号が解の増大・減衰を決めます。
• 主方向：対称行列では固有ベクトルが直交し、伸縮の軸を表します。これは主成分分析や2次形式の幾何の基礎になります。

よくある質問 (FAQ)

固有値と固有ベクトルとは何ですか

行列 A の固有ベクトルとは、A を作用させても向きが変わらない0でないベクトル v のことで、Av = λv を満たします。スカラー λ が固有値で、その方向に沿ってベクトルがどれだけ伸縮する（λ > 1で伸び、0 < λ < 1で縮み、λ < 0で反転する）かを表します。

2×2行列の固有値はどうやって求めますか

固有方程式 det(A − λI) = 0 を解きます。2×2行列ではこれが λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0、すなわち λ² − (トレース)λ + det = 0 に展開されます。解の公式を用いると λ = (トレース ± √((トレース)² − 4·det)) / 2 となります。

固有値が複素数になるのはどういうときですか

判別式 (トレース)² − 4·det が負のとき、2つの固有値は複素共役な組 α ± βi になります。平面を回転させる行列、たとえば多くの2×2回転行列で起こります。保たれる実方向がないため、実数の固有ベクトルは存在しません。

固有値がわかったあと固有ベクトルはどう求めますか

固有値 λ を A − λI に代入し、(A − λI)v = 0 を解きます。2×2行列では2つの行が比例するので、1本の式で方向が定まります。b ≠ 0 なら v = (b, λ − a)、c ≠ 0 なら v = (λ − d, c) が便利です。この0でないスカラー倍もすべて固有ベクトルです。